2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程学案 新人教B版必

-1-2.3.2圆的一般方程学习目标核心素养1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养.1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为－D2，－E2，半径长为12D2＋E2－4F.3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＜0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点－D2，－E2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0表示以－D2，－E2为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆思考：所有二元二次方程均表示圆吗？[提示]不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C，B＝0且D2＋E2－4F＞0时才表示圆．1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3B[∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1.]-2-2．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为()A．(2,0)，5B．(2,0)，5C．(0,2)，5D．(2,2)，5B[x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，∴圆心为(2,0)，半径r＝5.]3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为________．22π[由圆的方程可求得圆的半径r＝D2＋E2－4F2＝－22＋62－4×82＝2，所以圆的周长为22π.]4．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为________．x2＋y2－3x－4y＝0[该圆的圆心为32，2，半径为52，故其标准方程为x－322＋(y－2)2＝254.化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.]圆的一般方程的概念辨析【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[思路探究](1)根据表示圆的条件求m的取值范围；(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．[解](1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜15，故m的取值范围为－∞，15.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.-3-形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：1．由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F0，成立则表示圆，否则不表示圆．2．将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．[解](1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∵a≠0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，∴方程表示圆，它的圆心为－a2，a2，半径r＝12D2＋E2－4F＝22|a|.求圆的一般方程【例2】圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．[思路探究]由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．[解]设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆过A(1,2)，B(3,4)，∴D＋2E＋F＝－5，①3D＋4E＋F＝－25.②-4-令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.∵|x1－x2|＝6，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36，即D2－4F＝36.③由①②③得D＝12，E＝－22，F＝27，或D＝－8，E＝－2，F＝7.故所求圆的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或x2＋y2－8x－2y＋7＝0.应用待定系数法求圆的方程1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．[解]设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得2D＋2E＋F＋8＝0，5D＋3E＋F＋34＝0，3D－E＋F＋10＝0，解得D＝－8，E＝－2，F＝12，即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.求动点的轨迹方程[探究问题]1．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？[提示]设M(x，y)，则x－82＋y2＝2x－22＋y2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.2．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程．[提示]设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝12|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，-5-C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．【例3】已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2－y2＝4(x≠±2)[思路探究]直角边垂直⇒斜率相乘等于－1⇒转化为方程⇒检验．C[设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．]1．过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________．(x－4)2＋y2＝1[设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化简得(x－4)2＋y2＝1，则AB中点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1.]2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．[解]如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，从而x0＝x＋3，y0＝y－4.又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点－95，125和－215，285(点P在直线OM上的情况)．求与圆有关的轨迹的方法1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2．定义法：根据圆、直线等定义列方程；-6-3．几何法：利用圆的几何性质列方程；4．代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程．1．本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法．难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法，(2)应用待定系数法求圆的方程的方法，(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．3．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程．()(2)圆的一般方程和标准方程可以互化．()(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为－a2，－a，半径为12－3a2－4a＋4的圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．(2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)0，即－2a23时才表示圆．(4)正确．因为点M(x0，y0)在圆外，所以x0＋D22＋y0＋E22D2＋E2－4F4，即x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)D[圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选D.]3．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过-7-点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．(x－1)2＋(y＋1)2＝9[设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即x－12＋y＋12＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.]4．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．[解]设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得D－E＋F＝－2，D＋4E＋F＝－17，4D－2E＋F＝－20，解得D＝－7，E＝－3，F＝2.故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.