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-1-1.3中国古代数学中的算法案例学习目标核心素养1.了解割圆术中无限逼近的数学思想．(重点)2．理解更相减损之术的含义，了解其执行过程．(重点)3．掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．(重点)4．利用秦九韶算法计算多项式的值．(难点)1.通过更相减损之术的学习，体现了数学抽象的数学核心素养．2．借助秦九韶算法的学习，培养逻辑推理的数学核心素养.一、更相减损之术(等值算法)1．更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．2．用“等值算法”求最大公约数的程序：二、割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率的近似值．三、秦九韶算法1．把一元n次多项式函数P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0-2-＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.令vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，则递推公式为：v0＝an，vk＝vk－1x＋an－k，其中k＝1,2，…，n.2．计算P(x0)的方法：先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项．1．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里得辗转相除法相媲美的是()A．中国剩余定理B．更相减损之术C．割圆术D．秦九韶算法B[同欧几里得辗转相除法相媲美的是“更相减损之术”．]2．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为()A．运算速率快B．能计算出π的精确值C．内外夹逼D．无限次地分割C[因为刘徽采用的是正多边形面积逐渐逼近圆面积的方法，所以其特点关键是“内外夹逼”．]3．秦九韶算法可解决下列问题中的()A．求两个正整数的最大公约数B．求多项式的值C．求圆周率近似值D．计数问题B[秦九韶算法解决的是“求多项式的值”．]4．用更相减损术求81与135的最大公约数时，要进行________次减法运算．3[更相减损术的过程如下：(135,81)→(54,81)→(54,27)→(27,27)，进行3次减法．]更相减损之术【例1】用更相减损之术求最大公约数：(1)204与85；(2)378与90.-3-[思路探究]解答本题的关键是首先明确两数相差不大，再按更相减损之术的求解步骤求最大公约数．[解](1)第一步，204－85＝119,119－85＝34；第二步，85－34＝51,51－34＝17；第三步，34－17＝17，因此，17是204与85的最大公约数．或者因为(204,85)→(119,85)→(34,85)→(34,51)→(34,17)→(17,17)．所以17是204与85的最大公约数．(2)∵378与90都是偶数，∴用2约简得189和45.(189,45)→(144,45)→(99,45)→(54,45)→(9,45)→(9,36)→(9,27)→(9,18)→(9,9)．∴378与90的最大公约数为2×9＝18.1．在使用更相减损之术求两个正整数的最大公约数时，如果两个数都是偶数应提前约分，求得约简后的最大公约数后，再乘以约分的数即为所求．2．用更相减损之术时，当同一个数字连续重复出现时，一般它就是最大公约数．1．求325,130,270三个数的最大公约数．[解]325－130＝195,195－130＝65,130－65＝65.所以325和130的最大公约数是65.270－65＝205,205－65＝140,140－65＝75,75－65＝10,65－10＝55,55－10＝45,45－10＝35,35－10＝25,25－10＝15,15－10＝5,10－5＝5.所以270与65的最大公约数为5.所以325,130,270的最大公约数为5.用框图和程序表示几种案例【例2】根据课本第28页用“等值算法”求最大公约数的程序，画出求两个数最大公约数的程序框图．[思路探究]关键是搞清等值算法的原理，需要反复执行某一操作，故用到循环结构．[解]程序框图如图所示：-4-1．该程序的循环结构中套着一个条件分支结构，其主要作用是保证用较大数减较小数，不至出现负数．2．解决问题要先写程序，后画程序框图．2．根据课本第29页用“割圆术”的算法程序画出其相应的程序框图．[解]程序框图如图所示：秦九韶算法的应用[探究问题]1．怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种-5-类及计算次数分别是什么？[提示]f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算．2．我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．3．怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？[提示]f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝……＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．【例3】用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[思路探究]改写多项式，确定v0，再依次计算vi，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：由v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.(变结论)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值时，共做了几次乘法？几次加法？[解]根据秦九韶算法，把多项式改写为：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，-6-由内到外依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324，由此可知共做了7次乘法，6次加法．1．应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题．(1)要正确将多项式的形式进行改写．(2)计算应由内向外依次计算．(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．2．利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法次数与多项式未知数的最高指数相同，在多项式有常数项的情况下，加法运算的次数与乘法的次数相同．1．本节课的重点是会用更相减损之术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，难点是会用秦九韶算法求多项式的值．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)掌握求最大公约数的方法与步骤．(2)掌握秦九韶算法的步骤．3．本节课的易错点是弄不清秦九韶算法的原理而致错．1．思考辨析(1)用更相减损之术可以求两个正整数的最大公约数．()(2)使用秦九韶算法计算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数．()(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积．()[答案](1)√(2)√(3)√-7-2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11D[f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.]3．用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________．14[(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.]4．用更相减损之术求80和36的最大公约数．[解](80,36)→(44,36)→(8,36)→(8,28)→(8,20)→(8,12)→(8,4)→(4,4)，所以80与36的最大公约数为4.