极限证明(五篇)

极限证明(五篇)第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an??0,b??a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明limana?.n???bbn?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.x?x020.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理???a23.设?f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一致连续，???24.设a1》0，an?1＝an＋，证明＝1nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;3)f?x?在x?(本文来源)a处连续的充要条件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。27.设an?a,用定义证明:limn???an?a28.设x1?0，xn?1?31?xn,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。n??3?xn??29.用“???语言”证明lim30.设f(x)?(x?2)(x?1)?0x?1x?3x?2，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1n??1，2，?)，求证：limxn?2。31.设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求证：（a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；（b）设xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn??/3。n??32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，则对a，b之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得limf(zn)??33.设函数f在[a,b]上连续，且f?0,记fvn?f(a?v?n),?n??exp{b?a，试证明：n1blnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下?ab?a式2??2?ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)f(b)?f(a)?kb?a34.设f‘(0)?k,试证明lima?0?b?0?35.设f(x)连续，?(x)??0f(xt)dt，且limx?0论?'(x)在x?0处的连续性。f(x)，求?'(x)，并讨?a（常数）x36．给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛i1lim?()s。n??ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数f?x???x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0f?2x??f?x??a,求证：f'?0?存在且等于a.x1n40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?141.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f'?x??0,f''有界，则limt??f'?t??042.用???分析定义证明limt??1x?31?x2?9243.证明下列各题?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；n?1??2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;n??n?1??3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?a?1。45.设an?0，n=1,2，an?a?0,(n??),证limnn???46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕limf（x）存在且小于1＋。x?＋?4，证明x?1）2x2＋f（x）?47.已知数列{an}收敛于a，且a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于an48.若f?x?在?0,???上可微，limn??f(x)?0，求证?0,???内存在一个单x??x调数列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0n??x??e?sinx?cosx?,x?049.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f''?x?在???,??处处存在。??ax?bx?c,x?0第二篇：极限的证明极限的证明利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{xn}，其中a》0，xo》0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx》0,x^2》0,故lnx/x^2》0且lnx1),lnx/x^2《(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0》√a时,xn-x(n-1)=/2《0,单调递减且xn=/2》√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a同理可求x0《√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第三篇：数列极限的证明数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会|xn+1-a|《|xn-a|/a以此类推，改变数列下标可得|xn-a|《|xn-1-a|/a;|xn-1-a|《|xn-2-a|/a;……|x2-a|《|x1-a|/a;向上迭代，可以得到|xn+1-a|《|xn-a|/(a^n)2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。x(2)=√=√5》x(1);设x(k+1)》x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)=/【√+√】》0。②证明{x(n)}有上界。x(1)=1《4，设x(k)《4，则x(k+1)=√《√(2+3*4)《4。3当0当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t》1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t》1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为04用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明：(1)lim=0n→∞(2)lim=3/2n→∞(3)lim=0n→∞(4)…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原