二元函数极限证明

二元函数极限证明以下多篇优质文档供您阅读参考！第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε》0,存在δ》0,使当|x-x0|《δ时,有|f(x)-a|《ε而|x-x0|《δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|《ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ》0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y-》0,f-》(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x-》0,f-》(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x-》0,y-》0时由|sin(1/x)|《=1得|f|《=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2《=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|《=|x|+|y|所以显然当x-》0,y-》0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第二篇：二元函数的极限§2二元函数的极限(一)教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．(三)教学建议：(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限：limf(x)?a的“???”定义(c31)：x?x00设函数f(x)在x0的某一空心邻域u(x0,?1)内由定义，如果对???0,当x?u(x0,?)，即|x?x0|??时，都有|f(x)?a|??，???0,???1，则称x?x0时，函数f(x)的极限是a.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数f(x,y)为定义在d?r2上的二元函数，在点p0(x0,y0)为d的一个聚点，a是一个确定的常数，如果对???0,???0，使得当p(x,y)?u(p0,?)?d时，0都有|f(p)?a|??，则称f在d上当p?p0时，以a为极限。记作p?p0p?dlimf(p)?a也可简写为limf(p)?a或p?p0(x,y)?(x0,y0)2limf(x,y)?a例1用定义验证2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222证明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|限制在（2，1）的邻域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1}|x?3|?6,|x?y?1|?6取??min{1,?/6}，则有|x?xy?y|??由二元函数极限定义lim(x,y)?(2,1)(x?xy?y)?72222?x?y,(x,y)?(0,0)?xy22例2f(x,y)??x?y，?0,(x,y)?(0,0)?证明lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0x?yx?y2222证|f(x,y)|?|xy所以lim(x,y)?(0,0)|?|xy|lim(x,y)?(0,0)|f(x,y)|?lim(x,y)?(0,0)|xy|?0|f(x,y)|?0对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：p?p0limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。对于一元函数，x仅需沿x轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，p趋于p0的路线有无穷多条，只要有两条路线，p趋于p0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在p0点极限就不存在。?1,0?y?x2例1二元函数f(x,y)???0,rest请看图像（x62），尽管p(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当p(x,y)沿抛物线y?kx,0?k?1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。(考虑沿直线y?kx的方向极限).?x2y,?例2设函数f(x,y)??x2?y2?0,?(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)求证limf(x,y)?0x?0y?0证明因为|f(x,y)?0|?x|y|x?y?x|y|x?|y|所以，当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)?0。请看它的图像，不管p(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。通常为证明极限limf(p)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两p?p0个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等??全面极限存在.例3设函数(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?xy,?22f(x,y)??x?y?0,?证明函数f(x,y)在原点处极限不存在。证明尽管p(x,y)沿ｘ轴和ｙ轴趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线y?mx趋于原点时x?mxx?(mx)f(x,y)??mx22(1?m)x?m1?m沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象,例１沿任何路线趋于原点时，极限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。例4非正常极限极限lim(x,y)?(x0,y0)判别函数f(x,y)?xy?1?1x?y在原点是否存在极限.f(x,y)???的定义:12x?3y例1设函数f(x,y)?证明limf(x,y)??x?0y?0证|12x?3y|?|13(x?y)|只要取??16m|x?0|??,|y?0|??时，都有|12x?3y16?22|?|13(x?y)|??m12x?3y请看它的图象，因此是无穷大量。例2求下列极限:i)limxyx?y22;ii)(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)limsinxyy;iii)(x,y)?(0,0)limxy?1?1xy;iv)(x,y)?(0,0)limln(1?x?y)x?y22.二.累次极限:累次极限前面讲了p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在p0(x0,y0)的累次极限由两个limlimf(x,y)和limlimf(x,y)y?y0x?x0x?x0y?y0例1f(x,y)?xyx?yx?yx?y222,求在点(0,0)的两个累次极限.22例2f(x,y)?,求在点(0,0)的两个累次极限.例3f(x,y)?xs(请你支持：)in1y?ysin1x,求在点(0,0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。例函数f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y，两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线y?kx趋于原点时，kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数f(x,y)?xsin1y?ysin1x由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可见二重极限存在,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在，从而两个累次极限不存在。（4）二重极限极限lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x?x0y?y0在,则必相等.(证)（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等第三篇：二元函数极限的研究二元函数极限的研究作者：郑露遥指导教师：杨翠摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。关键词二元函数极限、累次极限、二重极限、连续性、判别法、洛必达法则、运算定理1引言函数的极限是高等数学中非常重要的内容,关于一元函数的极限及其求法,各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。例如,在极运算法则上,它们是一致的,但随