中考数学专题：二次函数与相似结合及存在型问题（解析版）

2020年中考数学必考经典题专题22二次函数与相似结合及存在型问题【方法指导】1.三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形；根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解.【题型剖析】【例1】如图，以D为顶点的抛物线2yxbxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为3yx．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使POPA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O，则(3,3)O，则OPAP的最小值为AO的长，然后求得AO的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明BCD为直角三角形，然后分为AQCDCB∽和ACQDCB∽两种情况求解即可．【解析】解：（1）把0x代入3yx，得：3y，(0,3)C．把0y代入3yx得：3x，(3,0)B，将(0,3)C、(3,0)B代入2yxbxc得：9303bcc，解得2b，3c．抛物线的解析式为223yxx．（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O，则(3,3)O．O与O关于BC对称，POPO．OPAPOPAPAO．当A、P、O在一条直线上时，OPAP有最小值．设AP的解析式为ykxb，则033kbkb，解得：34k，34b．AP的解析式为3344yx．将3344yx与3yx联立，解得：127y，97x，点P的坐标为9(7，12)7．（3）2223(1)4yxxx，(1,4)D．又(0C，3，(3,0)B，2CD，32BC，25DB．222CDCBBD，90DCB．(1,0)A，(0,3)C，1OA，3CO．13AOCDCOBC．又90AOCDCB，AOCDCB∽．当Q的坐标为(0,0)时，AQCDCB∽．如图所示：连接AC，过点C作CQAC，交x轴与点Q．ACQ为直角三角形，COAQ，ACQAOC∽．又AOCDCB∽，ACQDCB∽．CDACBDAQ，即21025AQ，解得：10AQ．(9,0)Q．综上所述，当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时，以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论是解答本题的关键．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2yaxbxc经过(1,0)A，(4,0)B，(0,4)C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移154个单位长度，再向左平移(0)hh个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D在ABC内，求h的取值范围；（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当PQC与ABC相似时，求PQC的面积．【分析】（1）函数表达式为：2(1)(4)(34)yaxxaxx，即可求解；（2）物线向下平移154个单位长度，再向左平移(0)hh个单位长度，得到新抛物线的顶点3(2Dh，5)2，将点AC的坐标代入一次函数表达式即可求解；（3）分CPQCBA∽、CPQABC∽，两种情况分别求解即可．【解析】解：（1）函数表达式为：2(1)(4)(34)yaxxaxx，即44a，解得：1a，故抛物线的表达式为：234yxx，函数顶点3(2D，25)4；（2）物线向下平移154个单位长度，再向左平移(0)hh个单位长度，得到新抛物线的顶点3(2Dh，5)2，将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：44yx，将点D坐标代入直线AC的表达式得：534()422h，解得：158h，故：1508h；（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H4OBOC，45PBAOCBQPC，直线BC的表达式为：4yx，则5AB，42BC，17AC，154102ABCS，设点2(,34)Qmmm，点(,4)Pmm，2CPm，223444PQmmmmm，①当CPQCBA∽，PCPQBCAB，即224542mmm，解得：114m，相似比为：1116PCBC，②当CPQABC∽，同理可得：相似比为：12225PCAB，利用面积比等于相似比的平方可得：21160510()16128PQCS或212257610()25125PQCS．【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2yaxbxc的图象经过点(2,0)A，(0,6)C，其对称轴为直线2x．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线13yxm将AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线2x上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线2x右侧．若以点E为直角顶点的BED与AOC相似，求点E的坐标．【分析】（1）把点A、C坐标及对称轴2x代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线13yxm与y轴的交点为(0,)m，由12662AOCS，13(6)(6)328mm，即可求解；（3）分DEOAOC∽、BEDAOC∽两种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）由已知得：420622abccba，解得：1226abc，故抛物线的表达式为：21262yxx，同理可得直线AC的表达式为：36yx；（2）联立3613yxyxm，解得：3(6)8xm，直线13yxm与y轴的交点为(0,)m，12662AOCS，由题意得：13(6)(6)328mm，解得：2m或10（舍去10)，2m；（3）2OA，6OC，3OCOA，①当DEBAOC∽时，则3BEOCDEOA，如图1，过点E作EF直线2x，垂足为F，过点B作BGEF，垂足为G，则RtBEGRtEDF∽，则3BGEBEFED，则3BGEF，设点(,)Ehk，则BGk，2FEh，则3(2)kh，即63kh，点E在二次函数上，故：2126632hhh，解得：4h或6（舍去6)，则点(4,6)E；②当BEDAOC∽时，13BEOAEDOC，过点E作ME直线2x，垂足为M，过点B作BNME，垂足为N，则RtBENRtEDM∽，则13BNBEEMDE，则13NBEM，设点(,)Epq，则BNq，2EMp，则1(2)3qp，解得：51453p或51453（舍去）；故点E坐标为(4,6)或5145(3，1145)9．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【变式训练】如图，抛物线212yxbxc与直线132yx分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知(0,3)A，(3,0)C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使||MBMC的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①将(0,3)A，(3,0)C代入212yxbxc，即可求解；（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；（3）分当13PGBCAGAC时、当3PGACAGBC时两种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）①将(0,3)A，(3,0)C代入212yxbxc得：39302cbc，解得：523bc，抛物线的解析式是215322yxx；（2）将直线132yx表达式与二次函数表达式联立并解得：0x或4，A(0,3)，(4,1)B①当点B、C、M三点不共线时，||MBMCBC②当点B、C、M三点共线时，||MBMCBC当点B、C、M三点共线时，||MBMC取最大值，即为BC的长，如图1，过点B作BEx轴于点E，在RtBEC中，由勾股定理得222BCBECE，||MBMC取最大值为2；（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似．设点P坐标为(x，2153)(0)22xxx在RtBEC中，1BECE，45BCE，在RtACO中，3AOCO，45ACO，180454590ACB，32AC，如图2，过点P作PQPA交y轴于点P，则90APQ，过点P作PGy轴于点G，90PGAAPQPAGQAP，PGAQPA∽90PGAACB①当13PGBCAGAC时，PAGBAC∽，211533322xxx，解得11x，20x，（舍去）点P的纵坐标为215113622，点P为(1,6)；②当3PGACAGBC时，PAGABC∽，23153322xxx，解得1133x（舍去），20x（舍去），此时无符合条件的点P综上所述，存在点(1,6)P．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．【例3】已知抛物线23yaxbx与x轴分别交于(3,0)A，(1,0)B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设AFkAD，当k为何值时，12CFAD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点(1,4)D；（2）①由A、C、D三点的坐标求出32AC，2DC，25AD，可得ACD为直角三角形，若12CFAD，则点F为AD的中点，可求出k的值；②由条件可判断DA