搜索
第13讲角、相交线与平行线知识点1直线、射线、线段1．班长小明在墙上钉木条挂报夹，钉一颗钉子时，木条还任意转动；钉两颗钉子时，木条再也不动了．用数学知识解释这种现象为两点确定一条直线．知识点2余角、补角2．若∠α＝31°42′，则∠α的余角的度数为58°18′，∠α的补角的度数为148°18′．知识点3相交线3．如图，点P到直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．第3题图第4题图4．如图，已知直线a，b被直线c所截，∠2＝55°，那么∠1的同位角是∠2，∠3的内错角是∠6，∠2的同旁内角是∠6，∠4＝55°，∠5＝125°．知识点4角平分线的性质与判定5．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为3．知识点5线段垂直平分线的性质与判定6．若点P在线段AB的垂直平分线上，PB＝10，则PA＝10．知识点6平行线的性质与判定7．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则(C)A．AB∥BCB．BC∥CDC．AB∥CDD．AB与CD相交8．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C＝30°．第8题图第9题图9．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝71°，则∠4的度数是109°．知识点7命题10．下列命题中是真命题的是(C)A．若AP＝BP，则P是线段AB的中点B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．平行于同一条直线的两条直线平行D．连接两点之间的线段叫做两点之间的距离重难点1角平分线、线段垂直平分线(2017·湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段BD＝AD或CD＝DE或AE＝BE＝BC．【思路点拨】由∠C＝90°，BD平分∠ABC和DE垂直AB可以构造角平分线性质定理模型，依据角平分线性质可知CD＝DE，又BD是公共边，利用“HL”可以证明Rt△BCD≌Rt△BED，可得BC＝BE.因为DE垂直平分AB，依据线段垂直平分线的性质定理可知BD＝AD，AE＝BE.所以BD＝AD，CD＝DE，AE＝BE＝BC.【变式训练1】(2016·长沙)如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．【变式训练2】(2015·荆州改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，求AB和BC的长．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.∴△EBC的周长为BE＋CE＋BC＝AC＋BC＝24.又∵△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝40，∴AB＝16cm.又∵AB＝AC，∴16＋BC＝24.∴BC＝8cm.,方法指导1．在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长．2．在利用线段垂直平分线的性质求角度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到等腰三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求角度．3．线段垂直平分线的性质定理与角平分线的性质定理作用类似，都起到转化相等线段的作用．重难点2与平行线有关的角度计算(2017·潍坊)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足(B)A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90°C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90°【思路点拨】直接利用已知AB∥DE无法找到∠α与∠β之间的关系，可以考虑过C作CF∥AB，构造两对平行线模型，根据平行线的性质即可求解．【变式训练3】(2017·衡阳)如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1＝25°，则∠2的度数是(C)A．25°B．30°C．35°D．60°变式训练3图变式训练4图【变式训练4】(2017·十堰)如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(B)A．40°B．50°C．60°D．70°,方法指导平行线拐角问题有以下几种常见类型：(已知AB∥CD，过点E作EF∥AB)1．(2017·随州)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分(如图)，发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(A)A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行第1题图第2题图2．(2017·株洲)如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，则∠α＝(B)A．41°B．49°C．51°D．59°3．(2017·邵阳)如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(D)A．120°B．100°C．80°D．60°第3题图第4题图4．(2017·邵阳)如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是(C)A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠4D．∠3＝∠45．(2017·台州)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是(A)A．2B．3C.3D．4第5题图第6题图6．(2017·滨州)如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是(D)A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等7．(2017·山西)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是(D)A．∠1＝∠3B．∠2＋∠4＝180°C．∠1＝∠4D．∠3＝∠48．(2017·宁波)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为(D)A．20°B．30°C．45°D．50°第8题图第9题图9．(2017·广安)如图，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝110°．10．(2017·常德)命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：如果m是有理数，那么它是整数．11．(2017·威海)如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝200°．第11题图第12题图12．(2017·金华)如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝20°．13．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，则△ACD的周长为11cm.14．(2016·江西)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.求证：DE∥BC.证明：∵将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，∴∠AED＝∠CED＝90°.∴∠AED＝∠ACB＝90°.∴DE∥BC.15．(2017·重庆)如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．解：∵EF∥GH，∴∠ABD＋∠FAC＝180°.∴∠ABD＝180°－72°＝108°.∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝50°.16．(2017·枣庄)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(A)A．15°B．22.5°C．30°D．45°17．(2016·衡阳)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为10．18．(易错易混)如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交BC于点D，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE.(1)若∠BAC＝110°，则∠DAE＝40°；(2)若∠BAC＝θ(0°＜θ＜180°)，求∠DAE的度数．(用含θ的式子表示)解：分两种情况：①如图1所示，当∠BAC≥90°时，图1∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB.∴∠B＝∠BAD.同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ.∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝θ－(180°－θ)＝2θ－180°；②如图所示，当∠BAC＜90°时，图2∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB.∴∠B＝∠BAD.同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ.∴∠DAE＝∠BAD＋∠CAE－∠BAC＝180°－θ－θ＝180°－2θ.