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第15讲等腰三角形知识点1等腰三角形的性质与判定1．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(B)A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°2．如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是(C)A．40°B．35°C．25°D．20°第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(D)A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠ADB＝90°，∠BAC＝70°，∠C＝55°．第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则AC的长为12．6．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝35°．7．等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为100°或40°．知识点2等边三角形的性质与判定8．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为(A)A．9B．8C．6D．129．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足|a－b|＋c－b＝0，则△ABC是(B)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定10．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．第10题图第11题图11．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝15°．12．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15°．第12题图第13题图13．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距80海里.重难点等腰三角形的性质与判定(2017·内江改编)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．【思路点拨】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B＝∠BDE，即可得出答案．【自主解答】证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．【变式训练1】(1)如图，已知△ABC中，AB＝AC，AM平分∠BAC，D为AC的中点，求证：△DMC是等腰三角形．证明：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC.又∵D为AC中点，∴DM＝12AC＝DC.∴△DMC是等腰三角形．拓展提问(2)如图，若△ABC是等边三角形，试判断△CDM的形状，并求出当AO＝12时，OM的长度．解：由(1)知△CDM为等腰三角形．∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°.∴△CDM是等边三角形．由条件可知：DM是△ABC的中线，DM∥AB，∴△AOB∽△MOD.∴AOOM＝ABMD＝2.∴AO＝2OM.∵AO＝12，∴OM＝6.【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为7．,方法指导等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．一般情况下，在同一个三角形中，要证边相等，先证角相等；要证角相等，先证边相等．1．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是(C)A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不对2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若AB＝13，AD＝12，则BC的长为(B)A．5B．10C．20D．24第2题图第3题图3．(2017·青岛)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为(D)A．48°B．40°C．30°D．24°4．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80°D．∠A＝40°，∠B＝80°5．(2017·荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)A．30°B．45°C．50°D．75°第5题图第6题图6．(2017·滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(B)A．40°B．36°C．30°D．25°7．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有(D)A．3条B．4条C．5条D．6条第7题图第8题图8．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，若∠B＝36°，则∠D的大小为72°．9．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是100°．10．(2016·泰州)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于20°．第10题图第11题图11．(2017·益阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为2a＋3b．12．(人教八上教材P82T7变式题)如图，已知：在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．解：∵△BDE是正三角形，∴∠DBE＝60°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°.∵∠C＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∴∠EBC＝∠ABC－60°＝∠C－60°.∵∠EBC＋∠C＝90°，即∠C－60°＋∠C＝90°.解得∠C＝75°.13．(人教八上教材P82T6变式题)如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.(1)求∠C的度数；(2)求证：△ADE是等边三角形．解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°.∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°.∴△ADE是等边三角形．14．(2016·河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)A．1个B．2个C．3个D．3个以上习题解析第14题图第15题图15．(易错易混)(2017·武汉)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(D)A．4B．5C．6D．716．(易错易混)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为115°或65°．17．(人教八上教材P83T10变式题)如图1，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于E，F.(1)EF与BE，CF之间有什么关系？(2)如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于E，交AC于F，EF与BE，CF之间又有怎样的数量关系，并给予证明．图1图2解：(1)EF＝BE＋CF.证明：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC.∴∠EOB＝∠EBO.∴OE＝BE.同理：CF＝OF.∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.(2)EF＝BE－CF.证明：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠CBO.∵OE∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.∴∠EOB＝∠EBO.∴BE＝OE.同理：CF＝OF.∴EF＝OE－OF＝BE－CF.18．(人教八上教材P93T13变式题)等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD.(1)当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；(2)当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；(3)在第(2)小题的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由．解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.∵AE＝EB＝BD，∴∠ECB＝12∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝12∠ABC＝30°.∴∠EDB＝∠ECB.∴EC＝ED.(2)证明：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°.∴△AEF为等边三角形．(3)EC＝ED.理由：∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF＝EF＝BD.∵∠AFE＝∠ABC＝60°，∴∠EFC＝∠DBE＝120°.∵AB＝AC，AE＝AF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝FC.在△DBE和△EFC中，DB＝EF，∠DBE＝∠EFC，BF＝FC，∴△DBE≌△EFC(SAS)．∴ED＝EC.