中考数学考点讲解：菱形

第2课时菱形知识点1菱形的定义及性质1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C)A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(B)A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD的周长是8cm，AB的长是2cm.4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.又∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是矩形．知识点2菱形的判定5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件：答案不唯一，如：AC⊥BD，使得该平行四边形为菱形．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.求证：(1)△AEF≌△DEB；(2)四边形ADCF是菱形．证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(AAS)．(2)∵△AEF≌△DEB，∴AF＝DB.∵D是BC的中点，∴DC＝DB.∴AF＝DC.∵AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD.∴平行四边形ADCF是菱形．知识点3菱形的面积7．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝8和BD＝6，那么，菱形ABCD的面积为24.重难点菱形的性质与判定(2017·湖北)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．【思路点拨】(1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD＝∠ADB，证出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；(2)由菱形的性质得出AC⊥BD，OD＝OB＝12BD＝3，再由三角函数即可得出AD的长．【自主解答】(1)证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD.又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.同理：AB＝BC，∴AD＝BC.又AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴AC⊥BD，OD＝OB＝12BD＝3.∵∠ADB＝30°，∴cos∠ADB＝ODAD＝32.∴AD＝332＝23.【变式训练】如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD.∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2.∵AB∥CD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF＝∠ABC＝45°.∴AB＝DE＝2.∴CE＝CD＋DE＝4.∵EF⊥BC，∠ECF＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形．∴EF＝CF＝22CE＝22.,方法指导1．判定菱形的基本思路：(1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；(2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；它的对角线相互垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．1．(2017·益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(D)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cm第2题图第4题图3．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)A．2B.5C．3D．44．(2017·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②5．(2016·齐齐哈尔)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC等使其成为菱形．(只填一个即可)第5题图第6题图6．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°．7．(2017·菏泽)在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24cm，则菱形的面积为183cm2.8．(2017·自贡)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.∵在△ABF和△CBE中，AF＝CE，∠A＝∠C，AB＝CB，∴△ABF≌△CBE(SAS)．∴∠ABF＝∠CBE.9．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO.∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD为菱形．10．(2017·江西)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(D)A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形11．(2017·南京)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．提示：由四边形ABCD是菱形可知DA＝DC，又∠D＝78°，∴∠DAC＝∠DCA＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝51°.∵∠AEB＝∠D＝78°，∴∠EAC＝∠AEB－∠ACB＝27°.12．(2017·广东)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝EF＝FA.又∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF.(2)∵BF＝BC，AB＝AF＝BC，∴△ABF是等边三角形．∵AD⊥BF，∴∠BAD＝∠FAD＝30°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD.∴∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－30°＝150°.13．(2017·滨州)如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于12BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周长为16，AE＝43，求∠C的大小．解：(1)证明：由作图过程可得：AE垂直平分BF，∴BE＝FE.在△AEB和△AEF中，AB＝AF，BE＝FE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEF(SSS)．∴∠EAB＝∠EAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB.∴BE＝AB＝AF.又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是菱形．(2)连接BF，交AE于G.∵菱形ABEF的周长为16，AE＝43，∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，AG＝12AE＝23，∠BAF＝2∠BAE，AE⊥BF.在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，∴cos∠BAG＝AGAB＝234＝32.∴∠BAG＝30°.∴∠BAF＝2∠BAE＝60°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAF＝60°.