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第1页共2页数学思想篇：六、函数思想【思想指导】、函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。【范例讲析】一、应用问题例1.如图，公路上依次有A、B、C三站，上午8时，甲骑自行车从A、B间距A站18千米的P处出发，向C站匀速前进，15分钟到达离A站22千米处．若A、B间和B、C间的距离分别是30千米和20千米，问从上午几点几分到几点几分，甲在B、C两站之间(不包括B、C两站)？二、优化设计问题例2.光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙形收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议。三、几何图形问题几何图形中的变量也可以建立函数关系式，主要运用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆的有关定理、面积关系等建立的。例3.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥AB于E，若AC=AB，CE=CD，求证：CD∶AB=3∶5．例4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E。⑴试确定CP＝3时，点E的位置；⑵若设CP＝x，BE＝y，试写出y关于自变量x的函数关系式；⑶若在线段BC上能找到不同的两点P1、P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围。【优化训练】1．某地计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？第2页共2页2.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元。小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张。⑴写出零星租碟方式应付金额y1（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；⑵写出会员卡租碟方式应付金额y2（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；⑶小彬选取哪种租碟方式更合算？3.某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）4.已知：如右图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC、BC。过O点作AB的垂线，交BC于E，交半圆于F，交AC的延长线于D，若OA=2，点C在弧AF上运动（不与点A、F重合）。设OE的长为x，△AOD的面积为y，求y和x的函数关系式。5.某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm.现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(如图是裁法一的裁剪示意图)设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A，B两种型号的板材刚好够用．(1)上表中，m＝________，n＝________；(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式；(3)若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？6.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y＝－1100x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内(元)(利润＝销售额－成本－广告费)．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10≤a≤40)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳1100x2元的附加费，设月利润为w外(元)(利润＝销售额－成本－附加费)．(1)当x＝1000时，y＝________元/件，w内＝________元；(2)分别求出w内，w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围)；(3)当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？