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1与圆有关的位置关系26与圆有关的位置关系限时:30分钟夯实基础1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以2.5cm为半径画圆,则☉C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定2.如图K26-1,AB是☉O的直径,AC切☉O于点A,BC交☉O于点D.若∠C=70°,则∠AOD的度数为()图K26-1A.70°B.35°C.20°D.40°3.如图K26-2,在平面直角坐标系中,☉P与x轴相切,与y轴相交于A(0,2),B(0,8),则圆心P的坐标是()图K26-2A.(5,3)B.(5,4)C.(4,5)D.(3,5)4.如图K26-3,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,点C是劣弧AB上的一个动点.若∠ACB=110°,则∠P的度数是()2图K26-3A.55°B.40°C.35°D.30°5.已知☉A在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-7,0),点B的坐标为(-7,4),点C的坐标为(-12,0).若☉A的半径为5,则下列说法不正确的是()A.点B在☉A内B.点C在☉A上C.y轴和☉A相切D.x轴和☉A相交6.[2018·烟台]如图K26-4,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为()图K26-4A.56°B.62°C.68°D.78°7.如图K26-5,AB是☉O的直径,经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B.过点A作直线AB的垂线,交BD的延长线于点E,且AB=√5,BD=2,则线段AE的长为.图K26-58.如图K26-6,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点P,直线BF与AD延长线交于点F,且∠AFB=∠ABC.(1)求证:直线BF是☉O的切线.(2)若CD=2√3,OP=1,求线段BF的长.3图K26-6能力提升9.如图K26-7,把△ABC剪成三部分,边AB,BC,AC放在同一直线上,点O都落在直线MN上,直线MN∥AB,则点O是△ABC的()图K26-7A.外心B.内心C.三条中线的交点D.三条高的交点10.如图K26-8,已知∠AOB=60°,半径为2√3的☉M与边OA,OB相切.若将☉M水平向左平移,当☉M与边OA相交时,设交点为E和F,且EF=6,则平移的距离为()图K26-8A.2B.2或6C.4或6D.1或5411.如图K26-9,过☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,OP交☉O于点C,点D是优弧𝐴𝐴𝐴⏜上不与点A,点C重合的一个动点,连接AD,CD.若∠APB=80°,则∠ADC的度数是()图K26-9A.15°B.20°C.25°D.30°12.[2018·山西]如图K26-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O,☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为.图K26-1013.如图K26-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,☉C的半径为1,点P是斜边AB上的点,过点P作☉C的一条切线PQ(点Q是切点),则线段PQ的最小值为.图K26-1114.[2018·天津]已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.(1)如图K26-12①,若D为𝐴𝐴⏜的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;5(2)如图②,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.图K26-12拓展练习15.[2018·娄底]如图K26-13,C,D是以AB为直径的☉O上的点,𝐴𝐴⏜=𝐴𝐴⏜,弦CD交AB于点E.(1)当PB是☉O的切线时,求证:∠PBD=∠DAB;(2)求证:BC2-CE2=CE·DE;(3)已知OA=4,E是半径OA的中点,求线段DE的长.图K26-136参考答案1.A2.D3.C4.B5.C6.C7.√52[解析]∵EA⊥AB,∴∠EAB=90°.∴∠B+∠E=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴AD=√𝐴𝐴2-𝐴𝐴2=√5-4=1,∠ADB=∠EDA,∠B+∠DAB=90°,∴∠DAB=∠E,∴△ABD∽△EAD.𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴,即√5𝐴𝐴=21.∴AE=√52.8.解:(1)证明:∵∠AFB=∠ABC,∠ABC=∠ADC,7∴∠AFB=∠ADC.∴CD∥BF.∵CD⊥AB,∴AB⊥BF.∴直线BF是☉O的切线.(2)如图,连接OD.∵CD⊥AB,∴PD=12CD=√3.∵OP=1,∴OD=2.∵CD∥BF,∴△APD∽△ABF.∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴,即34=√3𝐴𝐴.∴BF=4√33.9.B[解析]如图①,过点O作OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F.∵MN∥AB,∴OD=OE=OF(平行线间的距离处处相等).如图②,过点O作OD'⊥BC于D',作OE'⊥AC于E',作OF'⊥AB于F'.由题意可知,OD=OD',OE=OE',OF=OF',∴OD'=OE'=OF'.∴图②中的点O是三角形三个内角的平分线的交点,∴点O是△ABC的内心,故选B.10.B[解析]当将☉M水平向左平移,当点M运动到M'位置时,如图①,作MC⊥OA于点C,M'H⊥OA于点H,M'Q⊥MC于点Q,连接M'E.根据切线的性质,得MM'∥OB,MC=2√3.再根据垂径定理,得EH=12EF=3.在Rt△EHM'中,由勾股定理,得HM'=√3,则CQ=M'H=√3,所以MQ=2√3-√3=√3,然后利用含30°的直角三角形三边的关系可得到MM'=2.当将☉M水平向左平移,当点M运动到M″位置时,如图②,作MC⊥OA于点C,M″H⊥OA于点H,M″M交OA于点D,同理得到MC=2√3,M″H=√3,利用平行线的性质得∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°,则∠HM″D=30°,∠CMD=30°.根据含30°的直角三角形三边的关系可得到M″D和MD,则可得到MM″=6.811.C12.125[解析]如图,连接OF,DF.∵FG是☉O的切线,∴OF⊥FG.∵CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线,∴BD=CD.又CD为☉O的直径,∴DF⊥BC.∴CF=BF=12BC=4.又∵OC=OD,∴OF是△CDB的中位线.∴OF∥BD.又OF⊥FG,∴FG⊥BD.∴∠FGB=90°.又∠ACB=90°,∠B=∠B,∴△ABC∽△FBG.∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴.易知AB=10,∴𝐴𝐴6=410.∴FG=125.13.√2[解析]连接CP,CQ,如图所示.∵PQ是☉C的切线,∴CQ⊥PQ,∠CQP=90°.根据勾股定理,得PQ2=CP2-CQ2,∴当PC⊥AB时,线段PQ最短.∵在Rt△ACB中,∠A=30°,BC=2,∴AB=2BC=4,AC=2√3,∴CP=𝐴𝐴·𝐴𝐴𝐴𝐴=2√3×24=√3.9∴PQ=√𝐴𝐴2-𝐴𝐴2=√3-1=√2.∴PQ的最小值是√2.14.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∵∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D为𝐴𝐴⏜的中点,得𝐴𝐴⏜=𝐴𝐴⏜.∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图,连接OD.∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.又DP∥AC,∠BAC=38°,∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD=12∠AOD=64°.由OA=OC,得∠ACO=∠A=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.15.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠ABD=90°.∵PB是☉O的切线,∴∠ABP=90°,即∠PBD+10∠ABD=90°.∴∠DAB=∠PBD.(2)证明:∵∠A=∠DCB,∠AED=∠CEB,∴△ADE∽△CBE.∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴,即DE·CE=AE·BE.如图,连接OC,设☉O的半径为r,则OA=OB=OC=r.∴DE·CE=AE·BE=(OA-OE)(OB+OE)=r2-OE2.∵𝐴𝐴⏜=𝐴𝐴⏜,∴∠AOC=∠BOC=90°.∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2,BC2=BO2+CO2=2r2,BC2-CE2=2r2-(OE2+r2)=r2-OE2.∴BC2-CE2=DE·CE.(3)∵OA=4,∴OB=OC=OA=4.∴BC=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=4√2.又∵E是半径OA的中点,∴AE=OE=2.∴CE=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=√42+22=2√5.∵BC2-CE2=DE·CE,∴(4√2)2-(2√5)2=DE·2√5.∴DE=6√55.