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11.2.3矩形的性质与判定的综合1．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形2．如图，在矩形ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC和∠DCB，点E在AD上．①△ABE≌△DCE；②△ABE和△DCE都是等腰直角三角形；③AE＝DE；④△BCE是等腰三角形．以上结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE.求证：(1)DA⊥AE；(2)AC＝DE.24．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，则AE的长是()A．3B．4C．5D．75．[2017·西城区二模]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝2，求△OEC的面积．6．如图，在△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于点E，AF⊥CF于点F，直线EF分别交AB，AC于M，N.(1)求证：四边形AECF为矩形．(2)试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想．3参考答案【分层作业】1.C2．D3．证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝12∠BAC．又∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝12∠BAF.∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝12(∠BAC＋∠BAF)＝90°，4即∠DAE＝90°，故DA⊥AE.(2)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°.∵∠DAE＝90°，∴四边形AEBD是矩形，∴AB＝DE，∴AC＝DE.4．A【解析】易证△AEF≌△DCE，∴AE＝CD．∵矩形的周长为16，即2CD＋2AD＝16，∴CD＋AD＝8，∴AD－2＋AD＝8，∴AD＝5，∴AE＝AD－DE＝3.5．答图解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)如答图，作OF⊥BC于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝12CD＝1.∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，∴EC＝CD＝2，∴△OEC的面积＝12EC·OF＝1.6.解：(1)证明：∵CE，CF分别平分∠ACB和∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，5∴∠ACE＋∠ACF＝12(∠BCE＋∠ACE＋∠ACF＋∠DCF)＝12×180°＝90°.又∵∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF为矩形．(2)MN∥BC且MN＝12BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴NE＝NC，∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，∴MN∥BC．又∵AN＝CN，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝12BC且MN∥BC．