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11.3.2正方形的判定1．下列命题是真命题的是()A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使ABCD成为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④3．已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O.(1)若AB＝BC，则ABCD是____；(2)若AC＝BD，则ABCD是____；(3)若∠BCD＝90°，则ABCD是____；(4)若OA＝OB，且OA⊥OB，则ABCD是___；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则ABCD是___.4.2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形DECF是正方形．5．如图，在ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：△AOD≌△EOC．(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝____°时，四边形ACED是正方形．请说明理由．6．如图，正方形ABCD的边长为8，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形．(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．3参考答案【分层作业】1．A2．B3．(1)菱形(2)矩形(3)矩形(4)正方形(5)正方形4.证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是正方形．5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADO＝∠OCE，∠DAO＝∠OEC．又∵OC＝OD，∴△AOD≌△EOC(AAS)．(2)当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形．理由：∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.4又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形.∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠COE＝∠BAE＝90°，ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，∴菱形ACED是正方形．6．答图解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA．∵AE＝DH，∴BE＝AH.又∵AE＝BF，∴△AEH≌△BFE，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF.同理FE＝GF＝HG，∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形．∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．(2)直线EG经过正方形ABCD的中心，理由如下：连接BD交EG于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB．∵AE＝CG，∴BE＝DG.又∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD，∴BO＝DO，即点O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心．5(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∴四边形EFGH面积的最小值为32.