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12．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、三维目标：知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表示；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。过程与方法：通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度。情感态度与价值观：培养运算能力，创新能力，提高数学素质。二、学习重、难点：重点：平面向量数量积的坐标表示。难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用。三、学法指导：通过数量积的坐标表示的学习，会求夹角及两点间距离公式。四、知识链接：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量cosab，叫a与b的数量积，记作ab，即有cosabab，(0)。并规定0与任何向量的数量积为0.2．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影cosb的乘积。3．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1coseaaea；0abab当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab。特别的2aaa或||aaa=||||abab；abab25．平面向量数量积的运算律交换律：abba数乘结合律：()ab()ab()ab分配律：()abcacbc五、学习过程：问题1.在直角坐标系中，已知两个非零向量a=（x1，y1）,b=（x2，y2），如何用a与b的坐标表示ab（x轴上的单位向量i，y轴上的单位向量j）这就是说：问题2.平面内两点间的距离公式设(,)axy，则（）或（）（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么(平面内两点间的距离公式)问题3向量垂直的判定设11(,)axy，22(,)bxy，则（）问题4两向量夹角的余弦（0）cos（）B例1已知A(1，2)，B(2，3)，C，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明。3B例2已知a＝(1，3)，b＝(–2，23),（1）求ab；（2）求a与b的夹角。C例3在△ABC中，AB=(2，3)，AC=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。六、达标训练：A1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则234aab（）A.23B.57C.63D.83A2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形A3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.)54,53(或)53,54(B.)54,53(或)54,53(C.)54,53(或)53,54()54,53(或)54,53(4B4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则()()abab=。B5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-21)在线段AB的中垂线上，则x=。B6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且BCa，bCA，则a与b的夹角为。七、课堂小结：1、平面向量数量积的坐标表示2、两个向量垂直的坐标表示的充要条件3、平面内两点间的距离公式4、运用两个向量的数量积的坐标表示解决处理有关长度垂直的几个问题八、课后反思:2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角例1如图，在平面直角坐标系中标出A(1，2)，B(2，3)，C，5)三点，我们发现△ABC是直角三角形证明：∵AB=（1,1）AC＝（-3,3）∴AB·AC=1×（-3）+1×3=0∴AB⊥AC∴△ABC是直角三角形例2（1）a·b=-4（2）a与b的夹角θ为120°5例3-32或311或2133【达标训练】1.A.2.A3.D4.(a+b)·(a-b)=-7.5.x=47.6.a与b的夹角为45°.