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-1-单元素养评价(三)单元素养评价(三)(第八章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.(2019·南昌高一检测)一条直线和两异面直线b，c都相交，则它们可以确定()A.一个平面B.两个平面C.三个平面D.四个平面【解析】选B.因为两条相交的直线可以确定一个平面，一条直线和两异面直线b，c都相交，所以它们可以确定2个平面.2.(2019·镇江高一检测)教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是()①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.①教室地面上若有一条直线与直尺所在直线平行，可得存在无数条直线与直尺所在直线平行，故①错误；②教室地面上若有一条直线与直尺所在直线垂直，则与教室地面上的直线平行的直线与直尺所在直线都垂直，故②错误；③若直尺所在直线与教室地面相交，教室地面上不存在直线与直尺所在直线平行，故③错误；④不管直尺所在直线与教室地面平行，相交或在地面上，教室地面上都存在无数条直线与直尺所在直线垂直，故④正确.3.已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是()A.l与β不平行B.l与β不相交C.l不在平面β上D.l在β上，与β平行，与β相交都有可能【解析】选D.正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面CDD1C1，-2-A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1；A1D1∥平面ABCD，A1D1与平面CDD1C1相交；C1D1∥平面ABCD，C1D1⊂平面CDD1C1.因为直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，所以l与β相交、平行或l⊂β.4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是()A.若n∥α，m∥β，则α∥βB.若α∩β=l，且m⊥l，则m⊥βC.若m∥n，m∥β，则α∥βD.若α∩β=l，且m∥l，则m∥β【解析】选D.对于A.若n∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错；对于B，若α∩β=l，且m⊥l，则m与β不一定垂直，故错；对于C，若m∥n，m∥β，则α与β位置关系不确定，故错；对于D，因为α∩β=l，所以l⊂β，因为m∥l，则m∥β，故正确.5.(2019·武昌高一检测)已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O的表面积为()A.B.5πC.D.25π【解析】选C.由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为r=×.设正三棱柱的高为h，由×2×h=3，得h=.所以外接球的半径为-3-R==，所以外接球的表面积为：S=4πR2=4π×=.【加练·固】已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为()A.12πB.16πC.20πD.24π【解析】选A.正方体的棱长为2，正方体的体对角线的长为2，即正方体外接球的直径为2，半径为.所以球的表面积为S=4π()2=12π.6.(2019·宜宾高一检测)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=，且PA=AC=BC，则异面直线AB与PC所成角的正切值为()A.B.1C.D.【解析】选D.设PA=AC=BC=a，则·=(-)·=·-·=-a×a×cos=-a2，设与夹角为θ，-4-则cosθ==-.即θ=，所以异面直线AB与PC所成角的正切值为tan=.7.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A.B.C.D.【解析】选B.取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故E，F，B，D在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥A1B1∥AB，且ME=AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN=A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面α截该正方体所得截面为平面BDFE，BD=，EF=B1D1=，DF=，-5-梯形BDFE如图：过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，所以FG===，故四边形BDFE的面积为×=.8.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线CD⊥平面PAC【解析】选D.在A中，因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A不正确.在B中，过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B不正确.在C中，若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C不正确.在D中，因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥PA，-6-设AB=1，则AD=2，AC==，所以AC2+CD2=AD2，所以CD⊥AC，又PA∩AC=A，所以直线CD⊥平面PAC，故D正确.9.(2019·郑州高一检测)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为()A.B.2C.2D.4【解析】选A.如图所示，∠AMB=90°，设圆柱的底面圆半径为r，高为h.圆锥的底面半径为R，则圆锥的高为R，母线长为R；由题意知，2πr2+2πrh=πR·R，即2r2+2rh=R2；由相似边成比例得=，即h=R-r；所以2r2+2r(R-r)=R2，即2r=R，所以==，即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为.-7-10.(2019·深圳高一检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是()A.m∥D1QB.m∥平面B1D1QC.m⊥B1QD.m⊥平面ABB1A1【解析】选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，所以m∥BD∥B1D1，因为m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，所以m∥平面B1D1Q.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，A1A，A1B1的中点，给出下列命题：①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EFG；④异面直线FG，B1C所成角的大小为.其中正确命题的序号为()A.①B.②C.③D.④【解析】选ABC.如图，-8-对于①，连接AD1，则EF∥AD1∥BC1，而BC1⊥B1C，则EF⊥B1C，故①正确；对于②，因为BC1∥EF，EF⊂平面EFG，BC1⊄平面EFG，所以BC1∥平面EFG，故②正确；对于③，A1C⊥EF，A1C⊥EG，EF∩EG=E，所以A1C⊥平面EFG，故③正确；对于④，FG∥AB1，所以∠AB1C为异面直线FG，B1C所成角，连接AC，可得△AB1C为等边三角形，则∠AB1C=，即异面直线FG，B1C所成角的大小为，故④错误.12.已知平面α⊥平面β.直线m⊂平面α，直线n⊂平面β，α∩β=l，在下列说法中，正确的有()A.若m⊥n，则m⊥lB.若m⊥l，则m⊥βC.若m⊥β，则m⊥nD.m⊥n则m⊥β【解析】选BC.平面α⊥平面β.直线m⊂平面α，直线n⊂平面β，α∩β=l，若m⊥n，可得m，l可能平行，故A错误；若m⊥l，由面面垂直的性质定理可得m⊥β，故B正确；若m⊥β，可得m⊥n，故C正确，D错误.13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是()-9-A.D1O∥平面A1BC1B.D1O⊥平面MACC.异面直线BC1与AC所成的角为60°D.MO⊥平面ABCD【解析】选ABC.在A中，取A1C1中点E，则D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确.在B中，因为D1O⊥AM，D1O⊥AC，所以D1O⊥平面MAC，故B正确；在C中，因为AC∥A1C1，所以∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，又△A1C1B是正三角形，所以异面直线BC1与AC所成的角为60°，故C正确.在D中，MB⊥平面ABCD，MO∩MB=M，故MO与平面ABCD不垂直，故D错误.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M，则四棱锥M-EFGH的体积为________.【解析】因为底面EFGH的对角线EG与FH互相垂直，所以SEFGH=×EG×FH=×2×2=2，又M到底面EFGH的距离等于棱长的一半，-10-即h=×2=1，所以四棱锥M-EFGH的体积：VM-EFGH=×SEFGH×h=×2×1=.答案：15.(2019·厦门高一检测)如图，圆锥状容器内盛有水，水深3dm，水面直径2dm放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________dm3.【解析】如图，设铁球的半径为rdm，则放入铁球后水深为3rdm，上底面半径为rdm，此时铁球与水的体积和为·π·(r)2·3r=3πr3dm3.原来水的体积为·π·()2·3=3πdm3，铁球的体积为πr3dm3，则3π+πr3=3πr3，解得r3=.所以铁球的体积V=π×=dm3.-11-答案：16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件________时，有BH∥平面MNP.【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，所以PN∥BD，PM∥A1B，MN∥A1D，因为PN∩PM=P，A1B∩BD=B，所以平面A1BD∥平面PMN，所以H满足条件H∈线段A1D时，有BH∥平面MNP.答案：H∈线段A1D17.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD.给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是________.【解析】如图，①若PB⊥AC，因为AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，-12-所以AC⊥PO，又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾.①错误；②因为CD∥AB，则CD∥平面PAB，所以平面PAB与平面PCD的交线与AB平行.②正确；③因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，又BD⊥AC，所以BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC.③正确；④因为PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，所以PD2+CD2=PC2，所以△PCD为直角三角形，④错误.答案：②③四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.(12分)(2019·泰州