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-1-课时素养评价二十九直线与直线垂直(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(2019·宿迁高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AD,D1D的中点,则异面直线MN与AC所成的角大小为()A.30°B.60°C.75°D.90°【解析】选B.如图,连接AD1,由M,N分别为棱AD,D1D的中点,得MN∥AD1,所以∠D1AC即为异面直线MN与AC所成的角,连接D1C,则△AD1C为等边三角形,可得∠D1AC=60°.所以异面直线MN与AC所成的角大小为60°.2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=BB1,则异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AB=BB1,BC∥B1C1,-2-所以∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角,因为A1B===5,A1C===,所以cos∠A1BC===.3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.则的值为()A.3B.C.2D.【解析】选A.连接BC1,A1C1,因为AD1∥BC1,所以异面直线A1B与AD1所成角为∠A1BC1.令AA1=t,则A1B=BC1=,A1C1=.cos∠A1BC1===,所以t2=9,t=3即AA1=3.-3-所以=3.4.(多选题)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列说法中,正确的为()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°【解析】选ABD.因为截面PQMN是正方形,所以PQ∥MN,QM∥PN,则PQ∥平面ACD,QM∥平面BDA,所以PQ∥AC,QM∥BD,由PQ⊥QM可得AC⊥BD,故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,故D正确；综上C是错误的.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2019·重庆高一检测)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,则异面直线BM与C1N所成角的余弦值为________.【解析】如图,连接A1N,则A1N∥BM,所以∠A1NC1为异面直线BM与C1N所成角,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,-4-所以A1N=C1N=,在△A1NC1中,由余弦定理可得：cos∠A1NC1==.即异面直线BM与C1N所成角的余弦值为.答案：6.(2019·深圳高一检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为B1C1的中点,连接A1B,D1M,则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________.【解析】如图,连接CD1,CM,由A1D1∥BC,A1D1=BC,可得四边形A1BCD1为平行四边形,则A1B∥CD1,所以∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角,由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为B1C1的中点,得D1M=MC=,CD1=.在△CMD1中,由余弦定理可得,cos∠CD1M==.所以异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为.答案：三、解答题(共26分)-5-7.(12分)正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E是PC的中点,求异面直线BE与PA所成的角的余弦值.【解析】连接AC,BD相交于O,连接OE,则O为AC的中点,因为E是PC的中点,所以OE是△PAC的中位线,则OEPA,则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角,设四棱锥的棱长为1,则OE=PA=,OB=BD=,BE=,则cos∠OEB===.8.(14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥DA,PD⊥DC,在底面ABCD中,AB∥DC,AB⊥AD,又CD=6,AB=AD=PD=3,E为PC的中点.(1)求证：BE∥平面ADP.(2)求异面直线PA与CB所成角.【解析】(1)取PD的中点为F,连接EF,AF,则在△PCD中,EF∥CD且EF=CD,-6-由已知AB∥CD且AB=CD,所以AB∥EF且AB=EF,所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF,而AF⊂平面ADP,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面ADP.(2)取CD中点G,连接AG,PG,所以AB∥GC且AB=GC,所以四边形ABCG为平行四边形,所以BC∥AG,所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成角,由题意得PA=AG=PG=3,所以∠PAG=60°,所以PA与CB所成角为60°.(15分钟·30分)1.(4分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AD=2,AB=3,则异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选A.如图,连接AD1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角,因为AA1=1,AD=2,AB=3,所以AB1=,B1D1=,AD1=.在△B1AD1中,-7-cos∠B1AD1==.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.2.(4分)(2019·济南高一检测)已知正四面体ABCD,M,N分别是棱AB与CD的中点,则直线MN与直线AC所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.135°【解析】选B.取AD中点为E,连接ME,EN,易得∠MNE为所求,又易得△EMN为等腰直角三角形,所以∠MNE=45°.3.(4分)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是________.【解析】取BC的中点D,连接D1F1,F1D,AD.所以D1B∥DF1,所以∠DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角.设BC=CA=CC1=2,-8-则AD=,AF1=,DF1=.在△DF1A中利用余弦定理可得cos∠DF1A==.答案：4.(4分)如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.【解析】取BC的中点H,连接EH,AH,∠EHA=90°,设AB=2,则BH=HE=1,AH=,所以AE=,连接ED,ED=,因为BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD,在△EAD中cos∠EAD==.答案：-9-5.(14分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1,且异面直线AC1与A1B所成的角为60°,求证AC⊥AB.【证明】由已知条件,构造直四棱柱ABDC-A1B1D1C1,满足条件AC=AB=AA1,∠ACC1=90°,且异面直线AC1与A1B所成的角为60°,连接DC1,AD,如图,则∠AC1D是异面直线AC1与A1B所成的角,所以∠AC1D=60°,所以AD=AC1=DC1,又AC=AB=AA1,所以△ACC1≌△ACD,又∠ACC1=90°,所以∠ACD=90°,所以∠CAB=90°,所以AC⊥AB.【加练·固】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=2,E为棱CC1的中点.(1)求异面直线AE与BC1所成角的大小.(2)求三棱锥B1-ADE的体积.【解析】(1)取BC的中点F,连接EF,AF,因为EF∥BC1,所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE与BC1所成角,-10-又AE==3,EF=,AF=,所以cos∠AEF==,又0∠AEFπ,所以异面直线AE与BC1所成角的大小为.(2)取BB1的中点H,连接EH,则EH∥AD,则====××1×2×2=.1.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,对棱AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为________.【解析】取BC的中点E,连接EN,EM,因为M为AB的中点,所以ME∥AC,且ME=AC=,-11-同理得,EN∥BD,且EN=,所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,在△MEN中,EM=EN,若∠MEN=60°,则△MEN为等边三角形,所以MN=.若∠MEN=120°,可得MN=a.答案：或a2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点.(1)求证：AD1∥平面DOC1.(2)求异面直线AD1和OC1所成角的大小.【解析】(1)如图,连接D1C交DC1于点O1,连接OO1,因为O,O1分别是AC和D1C的中点,所以OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1,AD1⊄平面DOC1,所以AD1∥平面DOC1.(2)由(1)知,OO1∥AD1,所以∠O1OC1为异面直线AD1和OC1所成角,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,-12-则O1C1=O1O=,OC1==,所以cos∠O1OC1==,所以∠O1OC1=.即异面直线AD1和OC1所成角的大小为.