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-1-课时素养评价六平面向量基本定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·全国卷I)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=()A.-B.-C.+D.+【解析】选A.如图所示：=-=-=-·(+)=-.2.(2019·日照高一检测)如图，向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2-2-【解析】选C.不妨令a=，b=，则a-b=-=，由平行四边形法则可知=e1-3e2.3.若G是△ABC的重心，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则++等于()A.6B.-6C.-6D.0【解析】选D.令=a，=b，则=-=-=-(a+b).=-=-=-=-b+a，=-=-=-=-a+b，所以++=-a-b-b+a-a+b=0.4.已知非零向量，不共线，且2=x+y，若=λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0【解析】选A.由=λ，得-=λ(-)，即=(1+λ)-λ.又2=x+y，所以消去λ得x+y=2，即x+y-2=0.二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有=+λ，则λ=________.【解析】因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使=t，则-=t(-).所以=+t(-)=(1-t)+t.-3-所以解得λ=-.答案：-6.如图，在平面内有三个向量，，，||=||=1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，||=5，设=m+n(m，n∈R)，则m+n=________.【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，则∠COQ=∠OCP=90°，在Rt△QOC中，2OQ=QC，||=5.则||=5，||=10，所以||=10，又||=||=1，所以=10，=5，所以=+=10+5，所以m+n=10+5=15.答案：15三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且=，=，=，若=a，=b，试用a，b将，，表示出来.-4-【解析】=-=-=a-b，=-=--=-b-(a-b)=-a+b.=-=-(+)=(a+b).8.(14分)若向量a，b不共线，则c=2a-b，d=3a-2b，试判断c，d能否作为基底.【解析】设存在实数λ，使c=λd，则2a-b=λ(3a-2b)，即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由于向量a，b不共线，所以2-3λ=2λ-1=0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.(15分钟·30分)1.(4分)(多选题)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是()A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选A、B、C.由向量减法的三角形法则知，=-，B正确；由向量加法的平行四边形法则知，=+，==+，A、C正确；只有D错误.-5-2.(4分)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若=x+(1-x)，则x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.依题意，设=λ，其中1λ，则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)，且，不共线，于是有x=1-λ∈，即x的取值范围是.3.(4分)已知e1，e2不共线，a=e1+2e2，b=2e1+λe2，要使a，b能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________.【解析】若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线.a=e1+2e2，b=2e1+λe2，由a≠kb即得λ≠4.答案：(-∞，4)∪(4，+∞)4.(4分)l1、l2是不共线向量，且a=-l1+3l2，b=4l1+2l2，c=-3l1+12l2，若b，c为一个基底，则a=________.【解析】设a=λ1b+λ2c，即-l1+3l2=λ1(4l1+2l2)+λ2(-3l1+12l2)，即-l1+3l2=(4λ1-3λ2)l1+(2λ1+12λ2)l2.所以解得λ1=-，λ2=.答案：-b+c-6-5.(14分)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，求·.【解析】如图所示，·=(-)·(-)=·=·=·--=×(2)2×cos60°-×(2)2-×(2)2=-2.1.若已知e1、e2是平面上的一个基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A.e1与-e2B.3e1与2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1与2e1【解析】选D.e1与2e1是共线向量，不能作为一个基底，其余三组可以.2.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值.【解析】设=e1，=e2，则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，-7-所以存在实数λ，μ，使=λ=-λe1-3λe2，=μ=2μe1+μe2，所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=+=2e1+3e2，所以解得所以=，即AP∶PM=4∶1.