-1-课时素养评价九平面向量数量积的坐标表示(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中错误的是()A.|a|=|b|B.a·b=C.a∥bD.a-b与b垂直【解析】选A、B、C.因为|a|=1,|b|=,所以|a|≠|b|.又a·b=1×+0×=≠;易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.因为a-b=,且(a-b)·b=×+×=0,所以(a-b)⊥b.2.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b方向上的投影为()A.B.3C.-D.-3【解析】选D.向量a在b方向上的投影为==-3.3.(2019·邢台高一检测)已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为()A.(3,-2)B.(3,2)C.(-3,-2)D.(-3,2)-2-【解析】选C.采用验证的方法知,c=(-3,-2)满足c·a=-6+6=0,所以c⊥a,b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.4.已知a=(1,2),b=(x,4)且a·b=10,则|a-b|=()A.-10B.10C.-D.【解析】选D.因为a·b=10,所以x+8=10,x=2,所以a-b=(-1,-2),故|a-b|=.二、填空题(每小题4分,共8分)5.设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=________,cosθ=________.【解析】b=a+(-1,-1)=(1,1),则a·b=6.又|a|=3,|b|=,所以cosθ===1.答案:16.已知a,b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=2,且b∥a,则b的坐标为________.【解析】设b=(x,y),因为|b|=2,所以=2,所以x2+y2=20.由b∥a和|b|=2,可得解得或故b=(2,4)或b=(-2,-4).-3-答案:(2,4)或(-2,-4)【加练·固】已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O为坐标原点),则点C的坐标是________.【解析】设C(x,y),则=(x,y).又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1),因为∥,所以5(x+3)-0·(y-1)=0,所以x=-3.因为=(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为⊥,所以3x+4(y-5)=0,所以y=,所以C点的坐标是.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.(1)求向量a的坐标.(2)若c=(2,1),求(b·c)·a.【解析】(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ0.由a·b=20得1×λ+2×2λ=20,所以λ=4,所以a=(4,8).(2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,所以(b·c)·a=4(4,8)=(16,32).8.(14分)已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得:(1)a与b的夹角为直角.(2)a与b的夹角为钝角.(3)a与b的夹角为锐角.【解析】设a与b的夹角为θ,则a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.(1)因为a与b的夹角为直角,所以cosθ=0,-4-所以a·b=0,所以1+2λ=0,所以λ=-.(2)因为a与b的夹角为钝角,所以cosθ0且cosθ≠-1,所以a·b0且a与b不反向共线.由a·b0得1+2λ0,故λ-,由a与b共线得λ=2,故a与b不可能反向共线,所以λ的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角,所以cosθ0,且cosθ≠1,所以a·b0且a,b不同向共线.由a·b0,得λ-,由a与b共线得λ=2,所以λ的取值范围为∪(2,+∞).(15分钟·30分)1.(4分)在平面直角坐标系xOy中,=(2,1),=(3,k),若△ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由-==(-1,1-k),若·=0,所以k=-6;若·=0,所以k=-1,若·=0,所以k2-k+3=0,由Δ0知无解.2.(4分)已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(a,0),(0,a),其中a∈(0,+∞),点P在AB上且=t(0≤t≤1),则·的最大值为()A.aB.2aC.3aD.a2【解析】选D.因为A(a,0),B(0,a),-5-所以=(a,0),=(-a,a).又因为=t,所以=+=(a,0)+t(-a,a)=(a-ta,ta),所以·=a(a-ta)=a2(1-t).因为0≤t≤1,所以0≤1-t≤1,即·的最大值为a2.3.(4分)已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2,点E满足=,点F为CD的中点,若·=-2,则·=________.【解析】如图,建立平面直角坐标系,设C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E,F,=(t,1),=,=(-t,1),=,因为·=-2,所以-t2+=-2,解得t2=5,·=-t2+=-7.答案:-7-6-4.(4分)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________.【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角,所以(2a-3b)·c0,即(2k-3,-6)·(2,1)0,所以4k-6-60,所以k3.又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,即2a-3b与c反向.综上,k的取值范围为∪.答案:∪【加练·固】已知向量a=(-2,-1),b=(t,-2),且a与b的夹角为锐角θ,则实数t的取值范围为________.【解析】因为a与b的夹角为锐角θ,所以cosθ=0,即:a·b=(-2,-1)·(t,-2)=-2t+20,所以t1.若a∥b,可设:a=λb,所以(-2,-1)=λ(t,-2),所以所以此时b=2a,所成角为0°,故t=-4不合题意.所以t的取值范围是(-∞,-4)∪(-4,1).答案:(-∞,-4)∪(-4,1)5.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值.-7-(2)若m与n的夹角为,求x的值.【解析】(1)因为m=,n=(sinx,cosx),m⊥n.所以m·n=0,即sinx-cosx=0,所以sinx=cosx,所以tanx=1.(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos=,即sinx-cosx=,所以sin=,因为0x,所以-x-,所以x-=,即x=.1.(2019·怀化模拟)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1知=1,即动点D到点(3,0)的距离为1.又++=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以|++|=.-8-问题转化为点D与点P(1,-)间距离的最大值.点D在以点(3,0)为圆心,半径为1的圆上.因为圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,故的最大值为+1.答案:+12.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域.【解析】设Q(c,d),由新的运算可得:=m⊗+n=+=,由消去x得d=sin,所以y=f(x)=sin,故y=f(x)的值域是.