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-1-课时素养评价十八复数的乘、除运算(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(2019·潍坊高二检测)设复数z1=1+2i，z2=2-i，i为虚数单位，则z1z2=()A.4+3iB.4-3iC.-3iD.3i【解析】选A.z1z2=(1+2i)(2-i)=4+3i.【加练·固】复数(1+i)2(2+3i)的值为()A.6-4iB.-6-4iC.6+4iD.-6+4i【解析】选D.(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.2.已知复数z=1+i，则等于()A.2iB.-2iC.2D.-2【解析】选A.====2i.3.(2019·合肥高二检测)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位)，则=()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i，所以=2-3i.【加练·固】-2-已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i【解析】选C.z-1==1-i，所以z=2-i.4.(多选题)已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z·=4，则a=()A.-1B.1C.-D.【解析】选A、B.因为z=a+i，所以=a-i，则z·=(a+i)(a-i)=a2+3=4，解得a=1或-1.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2019·绍兴高二检测)已知复数z=(2-i)2(i为虚数单位)，则z的共轭复数为______________.【解析】z=(2-i)2=3-4i，=3+4i.答案：3+4i【加练·固】设复数z=1+i，则z2-2z=______________.【解析】因为z=1+i，所以z2-2z=z(z-2)=(1+i)(1+i-2)-3-=(1+i)(-1+i)=-3.答案：-36.(2019·舟山高二检测)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi)=a，则的值为______________.【解析】因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a，又a，b∈R，所以1+b=a且1-b=0，得a=2，b=1，所以=2.答案：2【加练·固】若=1-bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=______________.【解析】因为a，b∈R，且=1-bi，则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i，所以所以所以|a+bi|=|2-i|==.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)计算：(1)(1-i)(-1+i)+(-1+i).(2)(1+i).【解析】(1)原式=-1+i+i-i2-1+i=-1+3i.(2)原式=(1+i)=1+i.【加练·固】-4-计算：+.【解析】因为===i-1，===-i，所以+=i-1+(-i)=-1.8.(14分)(2019·株洲高二检测)已知为z的共轭复数，若z·-3i=1+3i，求z.【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi(a，b∈R)，由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i，即a2+b2-3b-3ai=1+3i，则有解得或所以z=-1或z=-1+3i.(15分钟·30分)1.(4分)(2019·福州高二检测)计算+的值是()A.0B.1C.iD.2i-5-【解析】选D.原式=+=+=+i=+i=+i=2i.2.(4分)设a是实数，且∈R，则实数a=()A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.因为∈R，所以不妨设=x，x∈R，则1+ai=(1+i)x=x+xi，所以有所以a=1.【加练·固】若a为正实数，i为虚数单位，||=2，则a=()A.2B.C.D.1【解析】选B.因为=(a+i)(-i)=1-ai，所以=|1-ai|==2，解得a=或a=-(舍).3.(4分)(2019·梅州高二检测)(1+i)20-(1-i)20的值等于_______.-6-【解析】因为(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.答案：04.(4分)若z1=a+2i，z2=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为______________.【解析】====，因为为纯虚数，所以所以a=.答案：【加练·固】设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位)，则z的模为______________.【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，则z2=a2-b2+2abi=3+4i，所以解得或所以|z|==.答案：5.(14分)(2019·滁州高二检测)设a，b为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i，求a和b.【解析】设a=x+yi，b=x-yi(x，y∈R)，则(a+b)2-3abi=(x+yi+x-yi)2-3(x+yi)(x-yi)i=4x2-3i(x2+y2)-7-=4-6i.所以解得所以或或或【加练·固】设复数z=，若z2+0，求纯虚数a.【解析】由z2+0可知z2+是实数且为负数.z====1-i.因为a为纯虚数，所以设a=mi(m∈R且m≠0)，则z2+=(1-i)2+=-2i+=-+i0，所以所以m=4，所以a=4i.1.已知复数z满足(3+4i)z=5i2020(i为虚数单位)，则|z|=______.【解析】由(3+4i)z=5i2020，得z===-8-==，所以|z|==1.答案：12.复数z=且|z|=4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值.【解析】z=(a+bi)=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.由|z|=4，得a2+b2=4，①因为复数0，z，对应的点构成正三角形，所以|z-|=|z|.把z=-2a-2bi代入化简得|b|=1.②又因为z对应的点在第一象限，所以a0，b0.由①②得故所求值为a=-，b=-1.