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1课时素养评价五十二两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)cosα-sinα化简的结果可以是()A.cosB.2cosC.sinD.2sin【解析】选B、D.cosα-sinα=2=2=2cos=2sin.2.=()A.-B.-C.D.【解析】选C.==2==sin30°=.3.=()A.-B.-C.D.【解析】选C.原式===sin30°=.4.已知钝角α,β满足cosα=-,cos(α+β)=-,则cosβ等于()A.B.-C.D.-【解析】选B.因为α,β为钝角,所以πα+β2π.因为cosα=-,所以sinα=.又cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=-,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=-.二、填空题(每小题4分,共8分)35.已知sinα=-,α∈,cosβ=-,β∈,则cos(α+β)=________,sin(α+β)=________.【解析】由题意:cosα=-,sinβ=,所以cos(α+β)=×-×=,sin(α+β)=×+×=.答案:6.已知cos=sin,则tanα=______.【解析】cos=cosαcos-sinαsin=cosα-sinα,sin=sinαcos-cosαsin=sinα-cosα,所以sinα=cosα,故tanα=1.答案:1三、解答题7.(16分)已知cosα=(α为第一象限角),求cos,sin的值.【解析】因为cosα=,且α为第一象限角,4所以sinα===.所以cos=coscosα-sinsinα=×-×=.sin=cos=cos=.【加练·固】已知βα,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值.【解析】因为βα,所以πα+β,0α-β.所以sin(α-β)===.所以cos(α+β)=-=-=-.则sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=-.(15分钟·30分)51.(4分)若sinx+cosx=4-m,则实数m的取值范围是()A.3≤m≤5B.-5≤m≤5C.3m5D.-3≤m≤3【解析】选A.因为sinx+cosx=cosx+sinx=cosxcos+sinxsin=cos=4-m,所以cos=4-m,所以|4-m|≤1,解得3≤m≤5.2.(4分)(2019·邢台高一检测)已知f(x)=sin-cos,则f(1)+f(2)+…+f(2019)的值为()A.2B.C.1D.0【解析】选A.f(x)=sin-cos=2sin=2sinx,所以周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2019)=f(2017)+f(2018)+f(2019)=f(1)+f(2)+f(3)=2.3.(4分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为________.【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ),-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.6答案:1【加练·固】已知cos=-,则cosx+cos的值为________.【解析】cosx+cos=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx==cos=-1.答案:-14.(4分)若α,β是锐角,且sinα-sinβ=-,cosα-cosβ=,则tan(α-β)=________.【解析】因为sinα-sinβ=-,cosα-cosβ=,两式平方相加得:2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=,即2-2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=.因为α,β是锐角,且sinα-sinβ=-0,所以0αβ,所以-α-β0.所以sin(α-β)=-=-.所以tan(α-β)==-.答案:-75.(14分)已知cosα=,sin(α-β)=,且α,β∈.求:(1)cos(2α-β)的值.(2)β的值.【解析】(1)因为α,β∈,所以α-β∈,又sin(α-β)=0,所以0α-β,由题意得,sinα==,cos(α-β)==,cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β)=×-×=.(2)cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,又因为β∈,所以β=.