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1课时素养评价五十六简单的三角恒等变换(二)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数y=sin2x+sin2x,x∈R的值域是()A.B.C.D.【解析】选C.y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,因为-1≤sin≤1,所以y=sin2x+sin2x的值域为.【加练·固】2若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x,则f(x)的最大值是()A.1B.22C.+1D.+2【解析】选B.f(x)=(1+tanx)cosx=cosx=sinx+cosx=2sin.因为0≤x,所以≤x+,所以当x+=时,f(x)取到最大值2.2.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于()A.1B.-1C.0D.±1【解析】选C.因为sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0,所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0.3.若tan=3,则=()A.3B.-3C.D.-【解析】选A.因为tan==3,所以tanθ=-.所以====3.34.(多选题)设函数f(x)=sin+cos,则()A.y=f(x)的最小值为-,其周期为πB.y=f(x)的最小值为-2,其周期为C.y=f(x)在内单调递增,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选A、D.f(x)=sin=sin=cos2x,所以y=f(x)在内单调递减,周期为π,又f=cosπ=-,是最小值.所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.二、填空题(每小题4分,共8分)5.函数y=的最小正周期是________.【解析】y==cos4x,T==.答案:6.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=________来截.4【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,又a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=,所以sin=.因为0x,x+,所以x+=或,x=或.答案:或三、解答题(共26分)7.(12分)设函数f(x)=2cos2ωx+sin+a(其中ω0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值.(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.【解析】f(x)=1+cos2ωx+sin2ωx-cos2ωx+a=sin+a+1.5(1)由2ωx+=2kπ+(k∈Z)得ωx=kπ+(k∈Z).又ω0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x==,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=sin+a+1,由≤x≤,得≤2x≤π,≤2x+≤,所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值为+a+1.由+a+1=,得a=-.8.(14分)有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD,使其一边AD落在圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?【解析】如图所示,设∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=acosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,所以S=2acosθ·asinθ=a2·2sinθcosθ=a2sin2θ.因为θ∈,所以2θ∈(0,π).因此,当2θ=,即θ=时,Smax=a2.6这时点A,D到点O的距离为a,矩形ABCD的面积最大值为a2.(15分钟·30分)1.(4分)已知cosα,sinα是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,则sin2α=()A.2-2B.2-2C.-1D.1-【解析】选A.因为cosα,sinα是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,所以sinα+cosα=t,sinαcosα=t,由sin2α+cos2α=1,得(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1,即t2-2t=1,解得t=1-,或t=1+(舍).所以sin2α=2sinαcosα=2t=2-2.2.(4分)要使sinα+cosα=有意义,则应有()A.m≤B.m≥-1C.m≤-1或m≥D.-1≤m≤【解析】选D.sinα+cosα=2=2sin=,7所以sin=,由于-1≤sin≤1,所以-1≤≤1,所以-1≤m≤.3.(4分)已知cos·cos=,θ∈,则sinθ+cosθ的值是________.【解析】cos·cos=sincos=sin=cos2θ=.所以cos2θ=.因为θ∈,所以2θ∈,所以sin2θ=-,且sinθ+cosθ0.所以(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1-=.所以sinθ+cosθ=-.答案:-【加练·固】已知sinα=+cosα,且α∈,则的值为________.【解析】将sinα-cosα=两边平方,8得2sinα·cosα=,所以(sinα+cosα)2=,所以sinα+cosα=,则==-(sinα+cosα)=-.答案:-4.(4分)已知A+B=,那么cos2A+cos2B的最大值是________,最小值是________.【解析】因为A+B=,所以cos2A+cos2B=(1+cos2A+1+cos2B)=1+(cos2A+cos2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)=1-cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.答案:5.(14分)已知函数f(x)=2cos2,g(x)=.(1)求证:f=g(x).(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.【解析】(1)f(x)=2cos2=1+cosx,9g(x)==1+2sincos=1+sinx.因为f=1+cos=1+sinx,所以f=g(x).(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cosx-sinx==cos.因为x∈[0,π],所以≤x+≤,当≤x+≤π,即0≤x≤时,h(x)单调递减,当πx+≤,即x≤π时,h(x)单调递增.所以函数h(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,根据函数h(x)的单调性,可知当x=时,函数h(x)取到最小值.1.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于()A.-B.C.-aD.a【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a.102.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.【解析】过点B作BH⊥OA,垂足为H.设∠OAD=θ,则∠BAH=-θ,OA=2cosθ,BH=sin=cosθ,AH=cos=sinθ,所以B(2cosθ+sinθ,cosθ),OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.由0θ,11知2θ+,所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.