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1课时素养评价五十四二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列计算正确的是()A.=1B.1-2sin275°=C.cos4-sin4=D.cos275°+cos215°+cos75°cos15°=【解析】选A、C、D.对于选项A,=tan45°=1;对于选项B,1-2sin275°=cos150°=-,对于选项C,cos4-sin4==cos=;对于选项D,原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=1+=.2.已知a=(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=,则()A.cabB.bcaC.abcD.bac【解析】选A.a=(sin17°+cos17°)=sin17°·cos45°+cos17°·2sin45°=sin62°,b=2cos213°-1=cos26°=sin64°,c==sin60°,所以cab.3.若=,则cos的值为()A.B.-C.-D.【解析】选A.因为=,所以=,所以cosα-sinα=,平方得1-2cosαsinα=,所以sin2α=,所以cos=sin2α=.4.设sinα=,tan(π-β)=,则tan(α-2β)=()A.-B.-C.D.【解析】选D.因为sinα=,α∈,所以cosα=-,所以tanα=-.又tan(π-β)=,所以tanβ=-,所以tan2β==-.3所以tan(α-2β)===.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知sin2α=,则cos2=________.【解析】因为sin2α=,所以cos2=×=(1-sin2α)=.答案:6.tan150°+=________.【解析】原式======-=-.答案:-三、解答题(共26分)7.(12分)已知α为第二象限角,且sinα=,求的值.4【解析】原式==.因为α为第二象限角,且sinα=,所以sinα+cosα≠0,cosα=-,所以原式==-.8.(14分)化简:tan70°cos10°(tan20°-1).【解析】原式=·cos10°·=·cos10°·=·cos10°·=-·=-1.(15分钟·30分)1.(4分)化简-2=()A.2sin4B.-2sin4C.2cos4D.-2cos4【解析】选A.原式=-52=2|cos4|-2|sin4+cos4|,因为π4,所以cos40,sin4+cos40.所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.2.(4分)已知cosx=,且x∈,则cos+sin2x的值为()A.B.-C.D.-【解析】选A.因为cosx=,x∈,所以sinx=-=-,所以sin2x=2sinxcosx=-,所以cos+sin2x=+=-sin2x=-×=.3.(4分)(2πα3π)的化简结果为________.6【解析】因为2πα3π,所以π,,所以====2sin.答案:2sin4.(4分)已知sin2α=,α∈,则cosα-sinα=________.【解析】因为α∈,所以sinαcosα即cosα-sinα0,又sin2α=,则有cosα-sinα=-=-=-=-.答案:-5.(14分)已知sin-2cos=0.(1)求tanx的值.(2)求的值.【解析】(1)由sin-2cos=0,知cos≠0,7所以tan=2,所以tanx===-.(2)由(1),知tanx=-,所以====×=×=.1.已知α,β均为锐角,且3sinα=2sinβ,3cosα+2cosβ=3,则α+2β的值为()A.B.C.D.π【解析】选D.由题意得①2+②2可得cosβ=,cosα=,由α,β均为锐角知,sinβ=,sinα=,所以tanβ=2,tanα=,8所以tan2β=-,所以tan(α+2β)=0.又α+2β∈,所以α+2β=π.2.在△ABC中,sinAcosA=sinBcosB.且A≠B.(1)求证:A+B=.(2)求sinA+sinB的取值范围.(3)若(sinAsinB)x=sinA+sinB,试确定实数x的取值范围.【解析】(1)因为sinAcosA=sinBcosB,所以sinAcosA-sinBcosB=0,即sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,化简可得A=B,或A+B=,但A≠B,所以A+B=.(2)由(1)可知A+B=,故sinA+sinB=sinA+sin=sinA+cosA=sin,因为0A,所以A+,所以1sin≤,故sinA+sinB的取值范围是(1,].(3)由题意可知x==,9设sinA+cosA=t∈(1,],则t2=1+2sinAcosA,故sinAcosA=,代入得x===≥=2,故实数x的取值范围为[2,+∞).