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-1-单元素养评价(三)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A.-B.C.-或D.0【解析】选C.由a∥b知1×2=m2,解得m=或m=-.2.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有()A.a=3,b=-5B.a-b+1=0C.2a-b=3D.a-2b=0【解析】选C.=(1,a-3),=(2,b-3),∥⇒b-3=2a-6,2a-b=3.3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)【解析】选B.=2=2(-)=2(-3,2)=(-6,4),=3=3(+)=3(-2,7)=(-6,21).4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与()-2-A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【解析】选A.++=++++-=++---=(-)+=+=-.5.对于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a+2b=0,则a=-2b,所以a∥b.若a∥b,则a+2b=0不一定成立,故“a+2b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.6.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则()A.=(a+b+c+d)B.=(a-b+c-d)C.=(c+d-a-b)-3-D.=(a+b-c-d)【解析】选C.连接OE,OF.因为=-=(+)-(+)=(c+d)-(a+b),所以=(c+d-a-b).7.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1)D.无数多个【解析】选C.设P(x,y),由||=2||得=2,或=-2,=(2,2),=(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1,P(1,-1).8.若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则()A.|2a||2a+b|B.|2a||2a+b|C.|2b||a+2b|D.|2b||a+2b|【解析】选C.因为|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|,由于a,b是非零向量,则必有a+b≠b,故上式中等号不成立.所以|2b||a+2b|.9.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+(1-λ),且λ∈(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线【解析】选B.由题意可知-=λ(-),即=λ,所以A,M,B三点共线.又λ∈(1,2),所以||||,点B在线段AM上.10.已知点P是△ABC所在平面内一点,边AB的中点为D,若2=(1-λ)+,其中λ∈R,则点P一定在()A.AB边所在直线上-4-B.BC边所在直线上C.AC边所在直线上D.△ABC内部【解析】选C.因为边AB的中点为D,所以+=2,又2=(1-λ)+.所以+=(1-λ)+-,所以=-λ,所以A,C,P三点共线,因此点P在直线AC上.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.下列命题不正确的是()A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则a⊥bD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|【解析】选A,B.单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.12.下列命题中正确的是()A.-=B.+=0C.0·=0D.++=【解析】选A,D.起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-=;,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,+=0;0·=0;++=.13.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量-5-B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0【解析】选B,C.由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当λ1e1+μ1e2为非零向量,而λ2e1+μ2e2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)14.若=(2,8),=(-7,2),则=________.【解析】=-=(-9,-6),所以=(-3,-2).答案:(-3,-2)15.已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是________.【解析】因为F=(8,0),所以终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).答案:(9,1)16.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.【解析】若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线.因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.答案:k≠117.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.【解析】a+b=(m+1,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.-6-答案:-2四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.(1)如图①,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.(2)如图②,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.【解析】(1)=+=+=-=-a+b.=+=-=a-b.(2)=-=b-a.因为O是BD的中点,G是DO的中点,所以==(b-a),所以=+=a+(b-a)=a+b.19.(14分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示.(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.【解析】(1)m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,所以(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),所以解得所以=-3+.-7-(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.20.(14分)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数λ的值.(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标.(3)已知点D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.【解析】(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得=k,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,所以解得k=-,λ=-.(2)=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以=.设A(x,y),则=(3-x,5-y),因为=(-7,-2),所以解得即点A的坐标为(10,7).-8-21.(14分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.【证明】如图,D,E,F分别是△ABC三边上的中点,设=a,=b,AD∩BE=G.设=λ,=μ.则=+=(b-a)+μ=(b-a)+μ=b-a+=(μ-2)a+(1-μ)b,又=λ=λ(+)==-λa+λb,所以解得则=+=a+=a+=a+b,=a+b,所以=,所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点.22.(14分)在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150km/h的航行速度向西北方向飞行,求没有风时飞机的航行速度和方向.【解析】如图所示,设v=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,则vb=va-v.所以vb,va,v构成了一个三角形,-9-||=|va|,||=|v|,||=|vb|.作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°,设||=150,||=75(-),则||=||=||=75,所以||=75.从而||=150,∠CAD=30°,所以|vb|=150,所以无风时飞机的航行速度为150km/h,方向为北偏西60°.23.(14分)设直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点P,其中A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数m的取值范围.【解析】(1)P与A重合时,m×(-2)+3+2=0,所以m=.P与B重合时,3m+2+2=0,所以m=-.(2)P与A,B不重合时,设=λ,则λ0.设P(x,y),则=(x+2,y-3),=(3-x,2-y).所以所以把x,y代入mx+y+2=0可解得λ=,-10-又因为λ0,所以0.所以m-或m.由(1)(2)知,所求实数m的取值范围是∪.