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-1-课时素养评价二十一随机事件的独立性(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是()A.互斥事件B.对立事件C.相互独立事件D.不相互独立事件【解析】选C.由已知,有P(A)=1-=,P(B)=1-=,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.2.一个学生通过一种英语能力测试的概率是,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.由题意知,恰有一次通过的概率为×+×=.3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.因为P(A)=,P(B)=,所以P()=,P()=.又A,B为相互独立事件,所以P()=P()P()=×=.所以A,B中至少有一件发生的概率为1--2-P()=1-=.4.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为=,右边圆盘指针落在奇数区域的概率为,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.二、填空题(每小题4分,共8分)5.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为________.【解析】设“从甲袋中取白球”为事件A,则P(A)==.设“从乙袋中取白球”为事件B,则P(B)==.取得同色球为AB+.P(AB+)=P(AB)+P()=P(A)·P(B)+P()·P()=×+×=.答案:6.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是________,三人中至少有一人达标的概率是________.-3-【解析】三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24.三人都不达标的概率为(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.2×0.4×0.5=0.04,三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96.答案:0.240.96三、解答题(共26分)7.(12分)在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求:(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率.(2)至少有一个气象台预报准确的概率.【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.显然事件A,B相互独立且P(A)=,P(B)=.(1)P(AB)=P(A)P(B)=×=.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P=1-P()=1-P()P()=1-×=.8.(14分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.(1)求恰有一名同学当选的概率.(2)求至多有两人当选的概率.【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A)+P(B)+P(C)-4-=P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+P()·P()·P(C)=××+××+××=.(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-××=.(15分钟·30分)1.(4分)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则表示()A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据对立事件可知C正确.2.(4分)在荷花池中,有一只青蛙在如图成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是()-5-A.B.C.D.【解析】选A.青蛙跳三次要回到A只有两条途径:第一条:按A→B→C→A,P1=××=;第二条,按A→C→B→A,P2=××=.所以跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=+=.3.(4分)加工某零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.【解析】加工出来的零件的正品率为××=,所以次品率为1-=.答案:4.(4分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.-6-所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.答案:-7-【加练·固】某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.答案:0.1285.(14分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:(1)三人都合格的概率.(2)三人都不合格的概率.(3)出现几人合格的概率最大.【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).(1)三人都合格的概率:P3=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=××=.(2)三人都不合格的概率:P0=P()=P()·P()·P()=××=.(3)恰有两人合格的概率:-8-P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.恰有一人合格的概率:P1=1-P0-P2-P3=1---==.综合(1)(2)可知P1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是()A.B.C.D.【解析】选D.由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)·P(),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).又P()=,所以P()=P()=,所以P(A)=.2.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率.(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率.【解析】记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3,4),则P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.(1)方法一:该选手被淘汰的概率:-9-P=P(∪A1∪A1A2∪A1A2A3)=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+P(A1)P(A2)P(A3)P()=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976.方法二:P=1-P(A1A2A3A4)=1-P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)=1-0.6×0.4×0.5×0.2=1-0.024=0.976.(2)方法一:P=P(A1∪A1A2∪A1A2A3)=P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+P(A1)P(A2)P(A3)P()=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.576.方法二:P=1-P()-P(A1A2A3A4)=1-(1-0.6)-0.6×0.4×0.5×0.2=0.576.