2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积（第1课

-1-第1课时柱、锥、台的表面积和体积考点学习目标核心素养柱、锥、台的表面积了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积直观想象、数学运算锥体、台体的表面积的求法能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系直观想象、数学运算问题导学预习教材P114－P117的内容，思考以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝13Sh；V棱台＝13h(S′＋SS′＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积名称图形公式圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2体积：V＝πr2l-2-圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2体积：V＝13πr2h圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)体积：V＝13πh(r′2＋r′r＋r2)■名师点拨1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13Sh.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13()S′＋SS′＋Sh.2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r′＋r)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl.3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V柱体＝Sh――→S′＝SV台体＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V锥体＝13Sh.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．()(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．()(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．()(4)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√棱长都是1的三棱锥的表面积为()A.3B．23C．33D．43-3-解析：选A．S表＝4S正△＝4×34＝3.若长方体的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，则长方体的体积为()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3解析：选B．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60(cm3)．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于()A．72B．42πC．67πD．72π解析：选C．S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的()A.2倍B．3倍C．2倍D．5倍(2)已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶2B．1∶3C．2∶2D．3∶6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3【解析】(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意可知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选C.(2)棱锥B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝32.三棱锥的表面积S锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶3.(3)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.-4-【答案】(1)C(2)B(3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积．解：法一：设正四棱台为ABCDA1B1C1D1，如图①.设B1F为斜高．在Rt△B1FB中，BF＝12×(8－4)＝2，B1B＝8，所以B1F＝82－22＝215，所以S正棱台侧＝4×12×(4＋8)×215＝4815.①法二：设正四棱台为ABCDA1B1C1D1，延长正四棱台的侧棱交于点P，作面PBC上的斜高PE，交B1C1于E1，如图②.设PB1＝x，则xx＋8＝48，解得x＝8.所以PB1＝B1B＝8，所以E1为PE的中点，又PE1＝PB21－B1E21＝82－22＝215，②所以PE＝2PE1＝415.所以S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1＝4×12×8×415－4×12×4×215-5-＝4815.柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A­A1BD的体积及高．【解】(1)V三棱锥A1­ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－16a3＝56a3.(2)V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝16a3.设三棱锥A­A1BD的高为h，则V三棱锥A­A1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32(2a)2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝33a.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准-6-确求出几何体的高和底面积．1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是()A.64π3B.128π3C．64πD．1282π解析：选A．作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝2r.由S侧＝π·r·PB＝162π，得2πr2＝162π.所以r＝4.则h＝4.故圆锥的体积V圆锥＝13πr2h＝643π.2．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为()A.288πcm3B.192πcm3C.288πcm3或192πcm3D．192πcm3解析：选C．当圆柱的高为8cm时，V＝π×122π2×8＝288π(cm3)，当圆柱的高为12cm时，V＝π×82π2×12＝192π(cm3)．3．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即12×6×-7-4＝12(cm2)，所以V四棱锥O­EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8组合体的表面积和体积如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝23.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为r＝1，高h＝3，所以圆柱的体积V1＝πr2h＝π×12×3＝3π.圆锥的体积V2＝13π×22×23＝833π.所以圆柱与圆锥的体积比为3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．-8-解：由例题解析可知：圆台的上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝3，母线l＝2，所以圆台的表面积S＝π(r2＋R2＋r·l＋Rl)＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积V＝13π(r2＋rR＋R2)h＝13π(12＋2＋22)×3＝733π.3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为h”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝23.如图所示易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即23－h23＝r2，所以h＝23－3r，S圆柱侧＝2πrh＝2πr(23－3r)＝－23πr2＋43πr，所以当r＝1，h＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为23π.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．1．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB，EC.四棱锥E­ABCD的体积V四棱锥E­ABCD＝13×42×3＝16.因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以V三棱锥F­EBC-9-＝V三棱锥C­EFB＝12V三棱锥C­ABE＝12V三棱锥E­ABC＝12×12V四棱锥E­ABCD＝4.所以多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC＝16＋4＝20.2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A．22B．20C．10D．11解析：选A.所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为()A.274B.94C.2734D.934解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝13×34×32×3＝934.故选D.3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.答案