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-1-8．4.1平面考点学习目标核心素养平面的概念了解平面的概念，会用图形与字母表示平面直观想象点、线、面的位置关系能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系直观想象三个基本事实及推论能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P124－P127的内容，思考以下问题：1．教材中是如何定义平面的？2．平面的表示方法有哪些？3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．-2-■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l■名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α-3-个平面使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l■名师点拨在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．()(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．()(3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.()(4)平面ABCD的面积为100m2.()(5)过三点A，B，C有且只有一个平面．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×若一直线a在平面α内，则正确的图形是()-4-解析：选A.选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α解析：选A.观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是()A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈αB．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝aC．因为A∈a，a⊂α，所以A∈αD．因为A∉a，a⊂α，所以A∉α解析：选C.对于A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误；对于B，直线a在平面α，β内，应为a⊂α，a⊂β，故B错误；对于C，因为A∈a，a⊂α，所以A∈α，故C正确；对于D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误．故选C.已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：(1)点C与平面β：____________．(2)点A与平面α：____________．(3)直线AB与平面α：__________．(4)直线CD与平面α：__________．(5)平面α与平面β：____________．答案：(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．-5-α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解：(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.2．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝直线AB，直线a⊂α，直线b⊂β，a∥AB，b∥AB.解：图形如图所示．-6-点、线共面问题证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明：如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，-7-所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，所以l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．三点共线、三线共点问题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．【证明】连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF═∥12A1B.又因为A1B═∥D1C，所以EF═∥12D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．-8-1．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条-9-通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．经过同一条直线上的3个点的平面()A．有且只有一个B．有且只有3个C．有无数个D．不存在解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝MD．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．解：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．[A基础达标]1．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点-10-解析：选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C.2．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．3．已知α，β为平面，A，