2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.5.1 直线与直线平行学案 新人教A

-1-8．5.1直线与直线平行考点学习目标核心素养基本事实4理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题直观想象、逻辑推理定理理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P133－P135的内容，思考以下问题：1．基本事实4的内容是什么？2．定理的内容是什么？1．基本事实4(1)平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．(2)符号表示：a∥bb∥c⇒a∥c.2．定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．■名师点拨定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．()(2)如果两个角相等，则它们的边互相平行．()答案：(1)×(2)×已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°-2-C．150°D．以上结论都不对答案：B在长方体ABCD­A′B′C′D′中，与AD平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)答案：A′D′，B′C′，BC-3-基本事实4的应用如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．【证明】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ═∥A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1═∥B1C1，所以EQ═∥B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E═∥C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD═∥C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q═∥FD.又B1E═∥C1Q，所以B1E═∥FD，故四边形B1EDF为平行四边形．证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.如图，已知E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．-4-证明：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，所以EG═∥A1B1.又A1B1═∥C1D1，所以EG═∥C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，所以D1E═∥C1G.因为F，G分别为棱CC1，BB1的中点，所以C1F═∥BG，从而四边形BGC1F为平行四边形，所以BF═∥C1G，又D1E═∥C1G，所以D1E═∥BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，易知BE＝BF＝52a，故平行四边形EBFD1是菱形．定理的应用如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且OA1OA＝OB1OB＝OC1OC.求证：△A1B1C1∽△ABC.【证明】在△OAB中，因为OA1OA＝OB1OB，所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．-5-如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BN═∥C1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP，又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.1.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝12A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1═∥A1D1，所以C1N═∥PA1，四边形PA1NC1为平行四边形，A1N∥C1P.又由PM═∥DD1═∥CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.2．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.[A基础达标]1．下列结论中正确的是()-6-①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B.①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的传递性可知．2．下列命题中，正确的有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.由等角定理可知：对于①这两个角可能相等，也可能互补；对于②显然正确．对于③如图，∠DD1C1与∠DAD1的两边D1C1⊥AD1，AD⊥D1D，而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错误；由基本事实4知命题④正确．所以②④是正确的．3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D.OB与O1B1不一定平行，反例如图．4.如图，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是()A．a，b都与l平行B．a，b中至多有一条与l平行C．a，b都与l相交-7-D．a，b中至多有一条与l相交解析：选B.如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．5．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条解析：选B.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条．6．空间中有两个角α，β，且角α、β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．解析：因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．答案：60°或120°7.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A18．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是异面直线．答案：①②9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．-8-求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以MM1═∥AA1.又因为AA1═∥BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1.所以四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，所以∠BMC＝∠B1M1C1.10．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ACD的中位线，所以MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.所以MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，所以四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.-9-[B能力提升]11．如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法不正确的是()A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为矩形解析：选D.由条件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.对于A，由MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据定理，得∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由定理知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D，没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故D不正确．12．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．解析：因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中点，所以EH∥BD，且EH＝12BD，同理FG∥BD，且FG＝12BD.所以EH＝FG＝12BD＝1，同理EF＝GH＝12AC＝2，所以四边形EFGH的周长为6.答案：613.(2019·丽水检测)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线．AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．-10-答案：①②14.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，求平行线EH，FG间的距离．解：在△BCD中，因为CFCB＝CGCD＝23，所以GF∥BD，FGBD＝23.所以FG＝4cm.在△ABD中，因为点E，H分别是AB、AD的中点，所以EH＝12BD＝3(cm)．设EH，FG间的距离为dcm.则12×(4＋3)×d＝28，所以d＝8.即EH和FG间的距离为8cm.[C拓展探究]15．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，