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-1-章末复习提升课抽样方法一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车有10辆．(1)求z的值；(2)用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，求舒适型、标准型的轿车应分别抽取多少辆？【解】(1)设该厂本月生产轿车n辆，由题意得50n＝10100＋300，所以n＝2000，则z＝2000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽取的样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以由(1)知4001000＝m5，解得m＝2，所以在C类轿车中抽取2辆舒适型-2-轿车，3辆标准型轿车．与分层随机抽样有关问题的常见类型及解题策略(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．1．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为______．解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x人，由分层随机抽样可得32180＝x90，解得x＝16.答案：162．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为______．解析：因为分层随机抽样的抽样比应相等，所以420960＝14样本量，样本量＝960×14420＝32.答案：32频率分布直方图的应用下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：区间界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)人数58102233区间界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158]人数201165(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比．【解】(1)列出样本频率分布表：-3-分组频数频率[122，126)50.04[126，130)80.07[130，134)100.08[134，138)220.18[138，142)330.28[142，146)200.17[146，150)110.09[150，154)60.05[154，158]50.04合计1201.00(2)画出频率分布直方图，如图所示．(3)因为样本中身高低于134cm的人数的频率为5＋8＋10120＝23120≈0.19.所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的19%.与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示：分组频数频率[10，15)100.25[15，20)24n-4-[20，25)mp[25，30]20.05合计M1(1)求表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数．解：(1)由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25，知10M＝0.25，解得M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，得m＝4，p＝mM＝440＝0.10.因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，所以a＝2440×5＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60.众数、中位数、平均数、方差与标准差的应用某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．【解】(1)x－甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，x－乙＝18(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．-5-甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．(2)由(1)知x－甲＝x－乙＝85分，所以s2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x－甲＝x－乙，s2甲＜s2乙，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．用样本的数字特征估计总体的数字特征应注意的问题(1)众数、中位数、平均数的含义及求法．(2)方差、标准差的计算．(3)中位数用来描述分类变量的中心位置，众数体现了数据的最大集中点，平均数反映样本数据的总体水平．(4)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机抽取了该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)列表如下：甲2628312931乙2830293132以下结论正确的是()①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．A．①③B．①④C．②③D．②④-6-解析：选B.法一：因为x－甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x－乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，所以x－甲x－乙，又s2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，所以s甲s乙．故可判断结论①④正确．法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.1．(2019·河北省沧州市期末考试)某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层随机抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有()A．420人B．480人C．840人D．960人解析：选C.由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为901800＝120.又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有42×20＝840(人)．故选C.2．(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5，10]内的频数为()A．50B．40C．30D．20解析：选D.第一个小矩形的面积为0.04×5＝0.2,所以样本落在[5，10]内的频数为0.2×100＝20.故选D.3．甲、乙两个城市某年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的是________．-7-解析：从折线统计图中可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大，而甲城市的气温相对来说较稳定，变化基本不大．答案：甲城市4．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)解析：假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x44＝2，x2＋x32＝2，所以x1＋x4＝4，x2＋x3＝4，又s＝14[（x1－2）2＋（x2－2）2＋（x3－2）2＋（x4－2）2]＝12（x1－2）2＋（x2－2）2＋（x3－2）2＋（x4－2）2＝122[（x1－2）2＋（x2－2）2]＝1，所以(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1，1，3，3.答案：1，1，3，3[A基础达标]1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2000名，从中抽取了一个容量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为()A．1030名B．97名C．950名D．970名解析：选D.由题意，知该中学共有女生2000×200－103200＝970(名)，故选D.2有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2[15.5，19.5)4[19.5，23.5)9-8-[23.5，27.5)18[27.5，31.5)11[31.5，35.5)12[35.5，39.5)7[39.5，43.5]3则总体中大于或等于31.5的数据所占的比例为()A.211B.13C.12D.23解析：选B.由题意知，样本量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本个数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占2266＝13.3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85，85，85B．87，85，86C．87，85，85D．87，85，90解析：选C.因为得85分的人数最多，为4人，所以众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.4．某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为()A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元解析：选C.设11时至12时的销售额为x万元，由于频率分布直方图中各小组的组距相同，故各小矩形的高度之比等于频率之比，也等于销售额之比，所以9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的比为0.100.40＝14，所以有2.5x＝14，解得x＝10，故选C.5．某学校举行的运动会上，七位评委为某位体操选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4-9-解析：选C.最高分是93分，最低分是79分，所剩数据的平均数为x－＝80＋4×3＋6＋75＝85，方差为s2＝15×[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故选C.