2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算学案 新人

-1-6．2.3向量的数乘运算考点学习目标核心素养向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理问题导学预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|．(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．■名师点拨λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a．(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．-2-(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．■名师点拨若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．()(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．()(3)若ma＝mb，则a＝b.()(4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b答案：D若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A．b＝2aB．b＝－2aC．a＝2bD．a＝－2b答案：A在四边形ABCD中，若AB→＝－12CD→，则此四边形的形状是________．答案：梯形向量的线性运算(1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．【解】(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a-3-＝－7a＋7b.②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.③原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b.(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a＝13－1－1a＋－1＋23＋2b＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－5＋103i＋－103－53j＝－53i－5j.向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．化简25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)＝________．解析：原式＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝(25－23＋415)a＋(－25－43＋2615)b＝0a＋0b＝0＋0＝0.答案：02．若2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.解：因为2x－23a－12b－12c＋32x＋b＝0，-4-所以72x－23a＋12b－12c＝0，所以72x＝23a－12b＋12c，所以x＝421a－17b＋17c.向量共线定理及其应用已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【解】(1)证明：因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k－λ＝0，λk－1＝0，所以k＝±1.向量共线定理的应用(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB→＝λAC→，则AB→与AC→共线，又AB→与AC→有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以λ＝－k，1＝3k，解得k＝13，λ＝－13.答案：－13-5-用已知向量表示其他向量如图，ABCD是一个梯形，AB→∥CD→且|AB→|＝2|CD→|，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB→＝e1，AD→＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)AC→＝________；(2)MN→＝________．【解析】因为AB→∥CD→，|AB→|＝2|CD→|，所以AB→＝2DC→，DC→＝12AB→.(1)AC→＝AD→＋DC→＝e2＋12e1.(2)MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝－12DC→－AD→＋12AB→＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－e2.【答案】(1)e2＋12e1(2)14e1－e2[变条件]在本例中，若条件改为BC→＝e1，AD→＝e2，试用e1，e2表示向量MN→.解：因为MN→＝MD→＋DA→＋AN→，MN→＝MC→＋CB→＋BN→，所以2MN→＝(MD→＋MC→)＋DA→＋CB→＋(AN→＋BN→)．又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以MD→＋MC→＝0，AN→＋BN→＝0.所以2MN→＝DA→＋CB→，所以MN→＝12(－AD→－BC→)＝－12e2－12e1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法-6-(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→＝()A．12AB→＋12AD→B．－12AB→－12AD→C．－12AB→＋12AD→D．12AB→－12AD→解析：选D.EF→＝EC→＋CF→＝12AB→－12AD→.1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：选B.原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝－a＋2b.2．若点O为平行四边形ABCD的中心，AB→＝2e1，BC→＝3e2，则32e2－e1＝()A.BO→B.AO→C.CO→D.DO→解析：选A.BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝3e2－2e1，BO→＝12BD→＝32e2－e1.3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线．证明：因为CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，所以BD→＝CD→－CB→＝e1－4e2.-7-又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以AB→＝2BD→，所以AB→与BD→共线．因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．[A基础达标]1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B.3C．－1或4D．3或4解析：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝－32－m，解得m＝－1或m＝3.3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，则()A.AO→＝2OD→B.AO→＝OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→解析：选B.因为D为BC的中点，所以OB→＋OC→＝2OD→，所以2OA→＋2OD→＝0，所以OA→＝－OD→，所以AO→＝OD→.4．设a，b不共线，AB→＝a＋kb，AC→＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有()A．k＝mB．km－1＝0C．km＋1＝0D．k＋m＝0解析：选B.若A，B，C三点共线，则AB→与AC→共线，所以存在唯一实数λ，使AB→＝λAC→，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以λm＝1，λ＝k，所以km＝1，即km－1＝0.-8-5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若AB→＋AC→＝2AP→，则PB→等于()A．－12AB→＋32AC→B.12AB→－32AC→C.12AB→－12AC→D．－12AB→＋12AC→解析：选C.由AB→＋AC→＝2AP→得AP→＝12(AB→＋AC→)，所以PB→＝PA→＋AB→＝－12(AB→＋AC→)＋AB→＝12AB→－12AC→.6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.答案：4b－3a7．已知点P在线段AB上，且|AB→|＝4|AP→|，设AP→＝λPB→，则实数λ＝________．解析：因为|AB→|＝4|AP→|，则AP→的长度是PB→的长度的13，二者的方向相同，所以AP→＝13PB→.答案：138．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．答案：－49．计算：(1)13()a＋2b＋14(3a－2b)－12(a－b)；(2)12（3a＋2b）－23a－b－7612a＋37b＋76a.解：(1)原式＝13＋34－12a＋23－12＋12b＝712a＋23b.(2)原式＝1273a＋b－76a＋37b＝76a＋12b－76a－12b＝0.10．已知两个非零向量a与b不共线，OA→＝2a－b，OB→＝a＋3b，OC→＝ka＋5b.(1)若2OA→－OB→＋OC→＝0，求k的值；-9-(2)若A，B，C三点共线，求k的值．解：(1)因为2OA→－OB→＋OC→＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.(2)AB→＝OB→－OA→＝－a＋4b，AC→＝OC→－OA→＝(