搜索
-1-6．3.1平面向量基本定理考点学习目标核心素养平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义数学抽象平面向量基本定理的应用掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算问题导学预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：1．基底中两个向量可以共线吗？2．平面向量基本定理的内容是什么？平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底■名师点拨(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．(2)基底{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)基底中的向量不能为零向量．()(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．()(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√-2-设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A．2e1，3e2B．e1＋e2，3e1＋3e2C．e1，5e2D．e1，e1＋e2答案：B若AD是△ABC的中线，已知AB→＝a，AC→＝b，则以{a，b}为基底表示AD→＝()A.12(a－b)B.12(a＋b)C.12(b－a)D.12b＋a解析：选B.如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而BD→＝DC→，即AD→－AB→＝AC→－AD→，从而AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(a＋b)．平面向量基本定理的理解设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】①设e1＋e2＝λe1，则λ＝1，1＝0，无解，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．③因为e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．【答案】③-3-对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2，y1＝y2.[提醒]一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．1．设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.A．①②B．①③C．①④D．③④解析：选B.寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，AD→与AB→不共线，CA→与DC→不共线；而DA→∥BC→，OD→∥OB→，故①③可作为基底．2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是()A.OA→，BC→B.OA→，CD→C.AB→，CF→D.AB→，DE→解析：选B.由题图可知，OA→与BC→，AB→与CF→，AB→与DE→共线，不能作为基底向量，OA→与CD→不共线，可作为基底向量．用基底表示平面向量如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若AB→＝a，AD→＝b，试用基底{a，b}表示向量DE→，BF→.【解】DE→＝DA→＋AB→＋BE→-4-＝－AD→＋AB→＋12BC→＝－AD→＋AB→＋12AD→＝a－12b.BF→＝BA→＋AD→＋DF→＝－AB→＋AD→＋12AB→＝b－12a.1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示AG→.解：由平面几何知识知BG＝23BF，故AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BF→＝a＋23b－12a＝a＋23b－13a＝23a＋23b.2．[变条件]若将本例中的向量“AB→，AD→”换为“CE→，CF→”，即若CE→＝a，CF→＝b，试用基底{a，b}表示向量DE→，BF→.解：DE→＝DC→＋CE→＝2FC→＋CE→＝－2CF→＋CE→＝－2b＋a.BF→＝BC→＋CF→＝2EC→＋CF→＝－2CE→＋CF→＝－2a＋b.用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．1．在△ABC中，点D在边AB上，且BD→＝12DA→，设CB→＝a，CA→＝b，则CD→为()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b解析：选B.因为BD→＝12DA→，CB→＝a，CA→＝b，所以CD→＝a＋BD→＝a＋13BA→＝a＋13(b－a)＝23a＋13-5-b.2．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA→＝a，BC→＝b.试以{a，b}为基底表示EF→，DF→.解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝13BC，所以AD→＝13BC→＝13b，所以AE→＝12AD→＝16b.因为BF→＝12BC→，所以BF→＝12b，所以FA→＝BA→－BF→＝a－12b.所以EF→＝EA→＋AF→＝－AE→－FA→＝－16b－a－12b＝13b－a，DF→＝DA→＋AF→＝－(AD→＋FA→)＝－13b＋a－12b＝16b－a.平面向量基本定理的应用如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.【解】设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.故BA→＝BP→＋PA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，-6-解得λ＝45，μ＝35.所以AP→＝45AM→，BP→＝35BN→，所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.1．[变问法]在本例条件下，若CM→＝a，CN→＝b，试用a，b表示CP→.解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP→＝25NB→，CP→＝CN→＋NP→＝CN→＋25NB→＝b＋25(CB→－CN→)＝b＋45a－25b＝35b＋45a.2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.解：如图，设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－2e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→＝－λe1－2λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.故BA→＝BP→＋PA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.所以AP→＝23AM→，BP→＝23BN→，-7-所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．1．设{e1，e2}是平面内的一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b.解析：由a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，解得e1＝13a－23b，e2＝13a＋13b.故e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b＝23a＋－13b.答案：23－132．在△ABC中，D为AB上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝______．解析：因为AD→＝2DB→，所以AD→＝23AB→＝23(CB→－CA→)．因为在△ACD中，CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.答案：231．如图在矩形ABCD中，若BC→＝5e1，DC→＝3e2，则OC→＝()A.12(5e1＋3e2)B.12(5e1－3e2)C.12(3e2－5e1)D.12(5e2－3e1)-8-解析：选A.OC→＝12AC→＝12(BC→＋AB→)＝12(BC→＋DC→)＝12(5e1＋3e2)．2．已知非零向量OA→，OB→不共线，且2OP→＝xOA→＋yOB→，若PA→＝λAB→(λ∈R)，则x，y满足的关系是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：选A.由PA→＝λAB→，得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→)，即OP→＝(1＋λ)OA→－λOB→.又2OP→＝xOA→＋yOB→，所以x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.3.如图，在平行四边形ABCD中，设AC→＝a，BD→＝b，试用基底{a，b}表示AB→，BC→.解：法一：设AC，BD交于点O，则有AO→＝OC→＝12AC→＝12a，BO→＝OD→＝12BD→＝12b.所以AB→＝AO→＋OB→＝AO→－BO→＝12a－12b，BC→＝BO→＋OC→＝12a＋12b.法二：设AB→＝x，BC→＝y，则AD→＝BC→＝y，又AB→＋BC→＝AC→，AD→－AB→＝BD→，所以x＋y＝a，y－x＝b，解得x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即AB→＝12a－12b，BC→＝12a＋12b.[A基础达标]1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有-9-一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析：选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC→＝e1，DC→＝e2，则OC→＝()A.12(e1＋e2)B.12(e1－e2)C.12(2e2－e1)D.12(e2－e1)解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC→＝e1，DC→＝e2，所以OC→＝12(BC→＋DC→)＝12(e1＋e2)，故选