2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1

-1-第1课时余弦定理考点学习目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝b2＋c2－2bccos__Ab2＝a2＋c2－2accos__Bc2＝a2＋b2－2abcos__C■名师点拨余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；-2-cosC＝a2＋b2－c22ab．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．()(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．()(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．()(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．()(5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝61，则角C等于()A．120°B．90°C．60°D．45°解析：选A.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C＝120°，故选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B等于()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a2＋c2－b2＝2accosB，因为a2＋c2－b2＝3ac，所以cosB＝32，故B＝π6.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________．解析：由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，所以c＝3.-3-答案：3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C．2D．3【解析】(1)因为cosC＝2cos2C2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42，故选A.(2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcosA，因为cosA＝23，所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3b＝－13舍去.故选D.【答案】(1)A(2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a＝5，c＝2，cosA＝23”改为“a＝2，c＝23，cosA＝32”，求b为何值？解：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，所以22＝b2＋(23)2－2×b×23×32，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤-4-(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，所以b＝22.又因为cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝19，则最大角与最小角的和为()A．90°B．120°C．135°D．150°(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于()A．90°B．60°C．120°D．150°【解析】(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝19，所以最大角为B，最小角为A，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝9＋25－192×3×5＝12，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.【答案】(1)B(2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意]若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，-5-且a2＝b2－c2＋2ac，则角B的大小是()A．45°B．60°C．90°D．135°解析：选A.由已知得a2＋c2－b2＝2ac，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0°＜B＜180°，所以B＝45°.2．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC的最大内角的余弦值．解：因为a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，不妨设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k，显然a＜b＜c.所以△ABC的最大内角为C，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝4k2＋6k2－（3＋1）2k246k2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．【解】将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2a2＋b2－c22ab2－c2a2＋c2－b22ac2＝2bc×a2＋c2－b22ac×a2＋b2－c22ab，所以b2＋c2＝[（a2＋b2－c2）＋（a2＋c2－b2）]24a2＝4a44a2＝a2.所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．(2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.-6-②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.④若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝π2.1．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：选D.在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以由余弦定理得b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝asinA，整理，得a＝asinA，所以sinA＝1.又A∈(0，π)，所以A＝π2.故△ABC为直角三角形．1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.cosB＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B.因为(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，-7-所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°.3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos60°，即c2＝a2＋b2－ab.①又因为(a＋b)2－c2＝4，所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝43.答案：434．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．[A基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝13，则b＝()A．1B．2C．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a2＋b2－2abcos60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×12，解得b＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5-8-解析：选D.由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝±15.因为A是锐角，所以cosA＝15.又因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以49＝b2＋36－2×b×6×15.解得b＝5或b＝－135.又因为b＞0，所以b＝5.3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－18解析：选C.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cosA＝b2＋c2－a22bc＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则AC边上的高为()A.322B.332C.32D．33解析：选B.由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，可得13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝12.因为A为△ABC的内角，所以A＝π3，所以AC边上的高为AB·sinA＝3×32＝332.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A2＝b＋c2c，则△ABC是()A