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-1-7．2.1复数的加、减运算及其几何意义考点学习目标核心素养复数加法、减法的运算掌握复数代数形式的加法、减法运算法则数学运算复数加法的几何意义理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义直观想象问题导学预习教材P75－P77的内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？2．复数的加、减法的几何意义是什么？1．复数加、减法的运算法则及加法运算律(1)加、减法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．■名师点拨两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个虚数的和或差可能是实数．()-2-(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.()(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．()(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．()(5)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6－2i)－(3i＋1)＝()A．3－3iB．5－5iC．7＋iD．5＋5i答案：B若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－2B．4C．3D．－4答案：B已知i为虚数单位，设复数z满足z＋i＝3，则|z|＝()A．3B．4C．10D．10答案：C复数的加、减法运算(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.【解】(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，所以3＋x＝5，2－y＝－6，所以x＝2，y＝8，所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．-3-复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.(1)求AO→表示的复数；(2)求CA→表示的复数．【解】(1)因为AO→＝－OA→，所以AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)因为CA→＝OA→－OC→，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．[变问法]若本例条件不变，试求点B所对应的复数．解：因为OB→＝OA→＋OC→，所以OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．解：由题意知，点M为OB的中点，则OM→＝12OB→，由互动探究1中知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为12，3，所以点M对应的复数为12＋3i.复数加、减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．1．在复平面内，AB→，AC→对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC→对应的复数为()A．－1－5iB．－1＋5i-4-C．3－4iD．3＋4i解析：选A.因为BC→＝AC→－AB→，所以BC→对应的复数为－2－3i－(－1＋2i)＝－1－5i.2．在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.(1)求AB→，AC→，BC→对应的复数；(2)判断△ABC的形状．解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.所以OA→，OB→，OC→对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，所以OA→＝(1，0)，OB→＝(2，1)，OC→＝(－1，2)．所以AB→＝OB→－OA→＝(1，1)，AC→＝OC→－OA→＝(－2，2)，BC→＝OC→－OB→＝(－3，1)．即AB→对应的复数为1＋i，AC→对应的复数为－2＋2i，BC→对应的复数为－3＋i.(2)因为|AB→|＝1＋1＝2，|AC→|＝（－2）2＋22＝8，|BC→|＝（－3）2＋1＝10，因为|AB→|2＋|AC→|2＝10＝|BC→|2.且|AB→|≠|AC→|，所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为()A．5－3iB．3＋5iC．7－8iD．7－2i解析：选C.(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得a2－2＋a＝0，a2－3a＋2≠0⇒a＝－2.答案：－23．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.(1)求z1－z2；(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．-5-解：(1)由复数减法的运算法则得z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.(2)在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中OZ→.[A基础达标]1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，所以z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3B．2C．1D．－1解析：选D.z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.因为在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，所以1＋a＝0，所以a＝－1.3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A.5B．5C．25D．10解析：选B.依题意，AC→对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.4．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4D．a＝3，b＝4解析：选A.因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝()-6-A.10B．55C.2D．52解析：选D.因为z1－z2＝5＋5i，所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝52.6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.答案：4－3i7．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是____________．解析：因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以2－a＜0，a－1＞0，解得a＞2.答案：(2，＋∞)8．若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以b＝－1，3＋a＝8，a－3＝c，解得b＝－1，a＝5，c＝2.答案：5－129．计算：(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2016＋2017i)＋(2017－2018i)．解：(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1.(2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2015－2016)＋2017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2016＋2017)－2018]i＝(－1008＋2017)＋(1008－2018)i＝1009－1010i.法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2015－2016i)＋(－2016＋2017i)-7-＝－1＋i，所以原式＝(－1＋i)×1008＋2017－2018i＝1009－1010i.10．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？解：由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.(1)若复数z1－z2＋z3是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则1－2a＋a2＝0a＋4≠0，即a＝1.[B能力提升]11．已知复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A.3B.5C．6D.6解析：选D.由题意，得|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝（cosθ－sinθ）2＋4＝5－2sinθcosθ＝5－sin2θ≤6，故|z1－z2|的最大值为6.12．若复数z满足条件|z－(2－2i)|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为________．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－(2－2i)|＝|x＋yi－2＋2i|＝|(x－2)＋(y＋2)i|＝1，所以(x－2)2＋(y＋2)2＝1.所以在复平面内z对应的点在一个圆上．答案：圆13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由题意得OC→＝(3，－4)，OA→＝(－1，2)，OB→＝(1，－1)．由OC→＝λOA→＋μOB→，得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以－λ＋μ＝3