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-1-7．2.2复数的乘、除运算考点学习目标核心素养复数的乘除运算掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算数学运算复数乘法的运算律理解复数乘法的运算律逻辑推理解方程会在复数范围内解方程数学运算问题导学预习教材P77－P79的内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？2．复数乘法的运算律有哪些？3．如何在复数范围内求方程的解？1．复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3■名师点拨对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．2．复数除法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．-2-■名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．()(2)两个共轭复数的和与积是实数．()(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．()答案：(1)×(2)√(3)√(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i答案：D(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i解析：选D.由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2i（1－i）2＝i(1－i)＝1＋i.复数z＝4－i1＋i的虚部为________．解析：z＝4－i1＋i＝（4－i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝3－5i2＝32－52i.答案：－52复数的乘法运算(1)(1－i)－12＋32i(1＋i)＝()A．1＋3iB．－1＋3iC.3＋iD．－3＋i-3-(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i(3)把复数z的共轭复数记作z－，已知(1＋2i)z－＝4＋3i，求z.【解】(1)选B.(1－i)－12＋32i(1＋i)＝(1－i)(1＋i)－12＋32i＝(1－i2)－12＋32i＝2－12＋32i＝－1＋3i.(2)选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的条件知，错误!解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i.复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.1．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________．解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.答案：－5－15i2．已知z∈C，z－为z的共轭复数，若z·z－－3iz－＝1＋3i，求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有a2＋b2－3b＝1，－3a＝3，-4-解得a＝－1，b＝0或a＝－1，b＝3，所以z＝－1或z＝－1＋3i.复数的除法运算计算：(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i；(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i.【解】(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i（2－i）5＝15＋25i.(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i＝5－3i＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝21－28i＋3i＋425＝25－25i25＝1－i.复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．1.1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解析：选D.1＋2i1－2i＝（1＋2i）（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＝1－4＋4i1－（2i）2＝－3＋4i5＝－35＋45i，故选D.2．计算：(1)3＋2i2－3i＋3－2i2＋3i；(2)（i－2）（i－1）（1＋i）（i－1）＋i.解：(1)3＋2i2－3i＋3－2i2＋3i＝i（2－3i）2－3i＋－i（2＋3i）2＋3i＝i－i＝0.(2)（i－2）（i－1）（1＋i）（i－1）＋i＝i2－i－2i＋2i－1＋i2－i＋i-5-＝1－3ii－2＝－2－i＋6i＋3i25＝－5＋5i5＝－1＋i.i的运算性质(1)复数z＝1－i1＋i，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为()A．1B．－1C．iD．－i(2)1＋i1－i2019等于________．【解析】(1)z2＝1－i1＋i2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.(2)1＋i1－i2019＝（1＋i）（1＋i）（1－i）（1＋i）2019＝2i22019＝i2019＝(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.【答案】(1)B(2)－i(1)i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.②1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i.③1i＝－i.已知z＝－1－i2，求z100＋z50＋1的值．解：因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，所以z100＋z50＋1＝－1－i2100＋－1－i250＋1＝－12100(1－i)100＋－1250(1－i)50＋1＝1250(－2i)50＋1225(－2i)25＋1＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i.在复数范围内解方程-6-在复数范围内解下列方程．(1)x2＋5＝0；(2)x2＋4x＋6＝0.【解】(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x＝±5i，所以方程x2＋5＝0的根为±5i.(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i，即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－80，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以a2－b2＋4a＋6＝0，2ab＋4b＝0，又因为b≠0，所以a2－b2＋4a＋6＝0，2a＋4＝0，解得a＝－2，b＝±2.所以x＝－2±2i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x＝－b±b2－4ac2a.②当Δ0时，x＝－b±－（b2－4ac）i2a.-7-(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．1．在复数范围内解方程2x2＋3x＋4＝0.解：因为b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－230，所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝－3±－（－23）i2×2＝－3±23i4.2．已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．解：因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，所以10＋3p＋q＝0，24＋2p＝0，解得p＝－12，q＝26.1．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝()A．－2B．－12C.12D．2解析：选D.因为(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i是纯虚数，所以b＝2.2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于()A.5B.3C.33D.55解析：选D.因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i|＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D.3．计算：(1)2＋2i（1－i）2＋21＋i2018；(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．解：(1)2＋2i（1－i）2＋21＋i2018-8-＝2＋2i－2i＋22i1009＝i(1＋i)＋1i1009＝－1＋i＋(－i)1009＝－1＋i－i＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.[A基础达标]1．复数i2＋i3＋i41－i＝()A．－12－12iB．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i解析：选C.因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以i2＋i3＋i41－i＝－i1－i＝－i（1＋i）2＝12－12i.2．(2019·安徽六安一中模考)设复数z＝1＋bi(b∈R)且z2＝－3＋4i，则z的共轭复数z－的虚部为()A．－2B．－2iC．2D．2i解析：选A.z2＝(1＋bi)2＝1－b2＋2bi＝－3＋4i，所以1－b2＝－32b＝4，所以b＝2，故z＝1＋2i，z－＝1－2i.故选A.3．若复数z满足z－1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i解析：选A.由题意z－＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选A.4．(2019·江西赣州寻乌中学期末)若复数a＋ib－i＝2－i(其中a，b是实数，i是虚数单位)，则复数a＋bi在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C.由a＋ib－i＝2－i，可得a＋i＝(b－i)(2－i)，即a＋i＝2b－1－(2＋b)i，所以-9-错误!解得错误!所以复数a＋bi在复平面内所对应的点的坐标为(－7，－3)，位于第三象限，故选C.5．设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝()A．1B.2C.3D．2解析：选A.由1＋z1－z＝i，得z＝－1＋i1＋i＝（－1＋i）（1－i）