2019-2020学年新教材高中数学 第七章 复数 7.3 复数的三角表示学案 新人教A版必修第二册

-1-7．3*复数的三角表示考点学习目标核心素养复数的三角形式了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系数学抽象复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义数学抽象、数学运算问题导学预习教材P83－P89的内容，思考以下问题：1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？2．复数的辐角、辐角的主值是什么？3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ→)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．-2-(2)z1z2＝r1（cosθ1＋isinθ1）r2（cosθ2＋isinθ2）＝r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数的辐角是唯一的．()(2)z＝cosθ－isinθ是复数的三角形式．()(3)z＝－2(cosθ＋isinθ)是复数的三角形式．()(4)复数z＝cosπ＋isinπ的模是1，辐角的主值是π.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√复数z＝1＋i的三角形式为z＝________．解析：r＝2，cosθ＝12＝22，又因为1＋i对应的点位于第一象限，所以arg(1＋i)＝π4.所以1＋i＝2cosπ4＋isinπ4.答案：2cosπ4＋isinπ4复数6cosπ2＋isinπ2的代数形式为________．解析：6cosπ2＋isinπ2＝6cosπ2＋6isinπ2＝6i.答案：6i6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6＝________；6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6＝________．解析：6cosπ3＋isinπ3×4cosπ6＋isinπ6＝24cosπ3＋π6＋isinπ3＋π6-3-＝24i.6cosπ3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6＝64cosπ3－π6＋isinπ3－π6＝32cosπ6＋isinπ6＝334＋34i.答案：24i334＋34i复数的代数形式与三角形式的互化角度一代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)3＋i；(2)2－2i.【解】(1)r＝3＋1＝2，因为3＋i对应的点在第一象限，所以cosθ＝32，即θ＝π6，所以3＋i＝2cosπ6＋isinπ6.(2)r＝2＋2＝2，cosθ＝22，又因为2－2i对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i＝2cos7π4＋isin7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．-4-(4)求出复数的三角形式．[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4cosπ6＋isinπ6；(2)32(cos60°＋isin60°)；(3)2cosπ3－isinπ3.【解】(1)复数4cosπ6＋isinπ6的模r＝4，辐角的主值为θ＝π6.4cosπ6＋isinπ6＝4cosπ6＋4isinπ6＝4×32＋4×12i＝23＋2i.(2)32(cos60°＋isin60°)的模r＝32，辐角的主值为θ＝60°.32(cos60°＋isin60°)＝32×12＋32×32i＝34＋34i.(3)2cosπ3－isinπ3＝2cos2π－π3＋isin2π－π3＝2cos53π＋isin53π.所以复数的模r＝2，辐角的主值为53π.2cos53π＋isin53π＝2cos53π＋2isin53π＝2×12＋2×－32i＝1－3i.-5-复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12cosπ4－isinπ4；(2)－12cosπ3＋isinπ3；(3)12sin3π4＋icos3π4；(4)cos7π5＋isin7π5；(5)12cosπ2＋isinπ6.解：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式．(1)原式＝12cos－π4＋isin－π4；(2)原式＝12cosπ＋π3＋isinπ＋π3＝12cos4π3＋isin4π3；(3)原式＝12cosπ2－3π4＋isinπ2－3π4＝12cos－π4＋isin－π4；(5)原式＝14cosπ2＋isinπ2.复数三角形式的乘、除运算计算：(1)8cos43π＋isin43π×4cos56π＋isin56π；(2)3(cos225°＋isin225°)÷[2(cos150°＋isin150°)]；(3)4÷cosπ4＋isinπ4.【解】(1)8cos43π＋isin43π×4cos56π＋isin56π-6-＝32cos43π＋56π＋isin43π＋56π＝32cos136π＋isin136π＝32cosπ6＋isinπ6＝3232＋12i＝163＋16i.(2)3(cos225°＋isin225°)÷[2(cos150°＋isin150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝62(cos75°＋isin75°)＝626－24＋6＋24i＝6－238＋6＋238i＝3－34＋3＋34i.(3)4÷cosπ4＋isinπ4＝4(cos0＋isin0)÷cosπ4＋isinπ4＝4cos－π4＋isin－π4＝22－22i.(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．(2)除法法则：模相除，辐角相减．(3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．计算：(1)2cosπ3＋isinπ32；(2)2(cos75°＋isin75°)×12－12i；-7-(3)－12＋32i÷2cosπ3＋isinπ3.解：(1)2cosπ3＋isinπ32＝(2)2cos23π＋isin23π＝2－12＋32i＝－1＋3i.(2)12－12i＝2222－22i＝22cos74π＋isin74π，所以2(cos75°＋isin75°)×12－12i＝2cos512π＋isin512π×22cos74π＋isin74π＝2×22cos512π＋74π＋isin512π＋74π＝cos2612π＋isin2612π＝cosπ6＋isinπ6＝32＋12i.(3)因为－12＋32i＝cos23π＋isin23π，所以－12＋32i÷2cosπ3＋isinπ3＝cos23π＋isin23π÷2cosπ3＋isinπ3＝12cos23π－π3＋isin23π－π3＝12cosπ3＋isinπ3＝14＋34i.-8-复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】因为3－3i＝2332－12i＝23cos116π＋isin116π所以23cos116π＋isin116π×cosπ3＋isinπ3＝23cos116π＋π3＋isin116π＋π3＝23cos136π＋isin136π＝23cosπ6＋isinπ6＝3＋3i，23cos116π＋isin116π×cos－π3＋isin－π3＝23cos116π－π3＋isin116π－π3＝23cos32π＋isin32π＝－23i.故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→，然后把向量OZ1→绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ20，就要把OZ1→绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是积z1z2.在复平面内，把与复数334＋34i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)解：334＋34i＝32cosπ6＋isinπ6，由题意得-9-32cosπ6＋isinπ6×2cosπ3＋isinπ3＝32×2cosπ6＋π3＋isinπ6＋π3＝3cosπ2＋isinπ2＝3i，即与所得向量对应的复数为3i.1．复数1－3i的辐角的主值是()A.53πB.23πC.56πD.π3解析：选A.因为1－3i＝212－32i＝2cos53π＋isin53π，所以1－3i辐角的主值为53π.2．复数9(cosπ＋isinπ)的模是________．答案：93．arg(－2i)＝________．答案：32π4．计算：(1)(cos75°＋isin75°)(cos15°＋isin15°)；(2)2(cos300°＋