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-1-章末复习提升课互斥事件、对立事件的概率某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)【解】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．-2-(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.(1)互斥事件与对立事件的概率计算①若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．②设事件A的对立事件是A，则P(A)＝1－P(A)．(2)求复杂事件的概率常用的两种方法①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．②先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下：品牌甲乙首次出现故障的时间x(年)0x≤11x≤22x≤3x30x≤11x≤2x2轿车数量(辆)213442345(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．(注：将频率视为概率)解：(1)设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为A，B，C是彼此互斥的，其概率分别为P(A)＝250＝125，P(B)＝150，P(C)＝350，-3-所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝325，即首次出现故障发生在保修期内的概率为325.(2)乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为2＋350＝110.古典概型袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【解】(1)将标号为1，2，3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1，2的两张蓝色卡片分别记为D，E.从这五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)将标号为0的绿色卡片记为F.从这六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．从这六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.求解古典概型概率“四步”法-4-甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1，乙男)、(甲男2，乙男)、(甲男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)、(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1，乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.事件的相互独立性计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可能性大？(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的概率．-5-【解】(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，则P(A)＝45×12＝25，P(B)＝34×23＝12，P(C)＝23×56＝59，从而P(C)P(B)P(A)，所以丙获得“合格证书”的可能性大．(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，则P(D)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．(2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为()A．0.25B．0.30C．0.31D．0.35解析：选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，所以同一工作日最少3人需使用设备的概率为P(ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＋0.4×0.5×0.5×0.4＋0.6×0.5×0.5×0.4＝0.31.概率与统计的综合问题某食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D，E.现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：XABCDE频率0.10.20.450.150.1从等级系数为A，D，E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)．(1)求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率；(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．【解】(1)A级所取的样品数为20×0.1＝2，D级所取的样品数为20×0.15＝3，E级所取的样品数为20×0.1＝2.将等级系数为A的2件样品分别记为a1，a2；等级系数为D的3件样品分别记为x1，x2，-6-x3；等级系数为E的2件样品分别记为y1，y2；现从a1，a2，x1，x2，x3，y1，y2这7件样品中一次性任取两件，共有21个不同的结果，分别为(a1，a2)，(a1，x1)，(a1，x2)，(a1，x3)，(a1，y1)，(a1，y2)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3)，(a2，y1)，(a2，y2)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)．记事件M为“取出的两件样品是等级系数为A与D”，则事件M所包含的样本点有6个，分别为(a1，x1)，(a1，x2)，(a1，x3)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3)．所以事件M的概率P(M)＝621＝27.(2)法一：记事件N为“取出的两件样品是等级系数为A与E”，则事件N所包含的样本点有4个，分别为(a1，y1)，(a1，y2)，(a2，y1)，(a2，y2)，所以事件N的概率P(N)＝421.记事件Q为“取出的两件样品是等级系数为D与E”，则事件Q所包含的样本点有6个，分别为(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，所以事件Q的概率P(Q)＝621＝27.因为事件M，N，Q为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为P(M∪N∪Q)＝P(M)＋P(N)＋P(Q)＝1621.法二：记事件L为“取出的两件样品是不同等级”，则事件L－为“取出的两件样品是同等级”，所以事件L－所含的样本点有5种，分别为(a1，a2)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，所以事件L－的概率P(L－)＝521，所以P(L)＝1－P(L－)＝1－521＝1621，即取出的两件样品是不同等级的概率为1621.解决概率与统计综合问题应注意的问题在解决此类综合问题时，应对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除无关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5-7-保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数