高考数学二轮复习 抛物线学案（含解析）

1抛物线考向一：抛物线定义抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，注意在解题中利用两者之间相互转化。1、(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点F的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析设M(x0，y0)，由抛物线的方程知焦点F(1,0)．根据抛物线的定义得|MF|＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点M到y轴的距离为9.条件探究：将条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)”．求点M的坐标及此时的最小值．解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M的坐标为(1,2)．2、［2015•全国Ⅰ，10］已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A．72B．52C．3D．2解析过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP→＝4FQ→，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝33、［2017•全国Ⅱ，16］已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，2∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.考向二：抛物线的标准方程与几何性质1、［2016•全国Ⅰ，10］以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8答案B解析不妨设C：y2＝2px(p0)，A(x1，22)，则x1＝222p＝4p，由题意可知|OA|＝3|OD|，得4p2＋8＝p22＋5，解得p＝4.故选B.2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．8【解析】因为抛物线22(0)ypxp的焦点(,0)2p是椭圆2231xypp的一个焦点，所以23()2ppp，解得8p，故选D．考向三：直线与抛物线的综合问题1、［2018•全国Ⅰ，8］设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8解析根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y＝23(x＋2)，与抛物线方程联立y＝23x＋，y2＝4x，消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以FM→＝(0,2)，FN→＝(3,4)，从而可以求得FM→·FN→＝0×3＋2×4＝8，故选D.条件探究：将条件变为过点(－2,0)的直线与C交于M，N两点，求FM→·FN→的范围？根据题意，直线的斜率存在且不为零，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，设直线方程为𝑦=𝑦（𝑦+2），与抛物线方程联立得ky2−4y+8k=0，y1+y2=4k，y1y2=8FM→·FN→＝(x1−1，y1)∙(x2−1，y2)=x1x2−(x1+x2)+1+y1y2=y124∙y224−(y124+y224)+1+y1y2=y124∙y224−((y1+y2)2−2y1y24)+1+y1y2=17−4k2因为∆=16−32k20，0k212，FM→·FN→的范围为(−∞，9)2、［2017•全国Ⅰ，10］已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10解析因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1，0)．4由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－1k，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－1k(x－1)．由y＝kx－，y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1，所以|AB|＝x1＋x2+2＝＋k2k2.同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝＋k2k2＋4(1＋k2)＝4（1k2＋1＋1＋k2）＝8＋4（k2＋1k2）≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，取得等号．故选A.3、［2018•全国Ⅲ，16］已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，所以y21－y22＝4x1－4x2，所以k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2.取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′.因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．因为M(－1,1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，所以k＝2.4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【解析】设直线11223:,,,,2lyxtAxyBxy．323APPB5（1）由题设得3,04F，故123||||2AFBFxx，由题设可得1252xx．由2323yxtyx，可得22912(1)40xtxt，则1212(1)9txx．从而12(1)592t，得78t．所以l的方程为3728yx．（2）由3APPB可得123yy．由2323yxtyx，可得2220yyt．所以122yy．从而2232yy，故211,3yy．代入C的方程得1213,3xx．故413||3AB．5、［2017•北京卷，18］已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点0，12作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．解(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝12.所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为14，0，准线方程为x＝－14.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋12(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．6由y＝kx＋12，y2＝x，得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，则x1＋x2＝1－kk2，x1x2＝14k2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．直线ON的方程为y＝y2x2x，点B的坐标为x1，y2x1x2.因为y1＋y2x1x2－2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2x2＝kx1＋12x2＋kx2＋12x1－2x1x2x2＝k－x1x2＋12x2＋x1x2＝k－214k2＋1－k2k2x2＝0，所以y1＋y2x1x2＝2x1，故A为线段BM的中点．