2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数章末复习提升课教师用书 新人教B版必修第一册

-1-章末复习提升课函数的定义域和值域(1)函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A.－∞，13B.13，1C.－13，13D.－∞，13∪13，1(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是()A.0，52B.[－1，4]C.[－5，5]D.[－3，7](3)求下列函数的值域：①y＝2x＋1x－3；②y＝x＋41－x；-2-③y＝1x－2x，x∈－2，－12.【解】(1)选D.由题意得，1－x0，3x－1≠0，解得x1且x≠13.(2)选A.设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定义域为[－1，4].再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤52，即函数y＝f(2x－1)的定义域是0，52.(3)①y＝2x＋1x－3＝2(x－3)＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).②设t＝1－x≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5].③因为y＝1x－2x在－2，－12上为减函数，所以ymin＝1－12－2×－12＝－1.ymax＝1－2－2×(－2)＝72.所以函数的值域为－1，72.求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.[注意](1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同.(2)定义域所指永远是自变量的范围.1.设函数f(x)的定义域为[1，5]，则函数f(2x－3)的定义域为()A.[2，4]B.[3，11]-3-C.[3，7]D.[1，5]解析：选A.由题意得，1≤2x－3≤5，解得2≤x≤4，所以函数f(2x－3)的定义域是[2，4].2.设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是Ｗ.解析：由题意可得：函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值为2.因为函数的值域是[－6，2]，令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3.所以－1≤m≤1，1≤n≤3，所以0≤m＋n≤4.即m＋n的取值范围为[0，4].答案：[0，4]函数的解析式(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝Ｗ.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x＋3.①求出函数f(x)在R上的解析式；②写出函数的单调区间(写出即可，不需要证明).【解】(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，因为f(x＋1)＝x2－5x＋4，所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10，所以f(x)＝x2－7x＋10.故填x2－7x＋10.(2)①设x0，则－x0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.又因为f(0)＝0，所以f(x)＝x2－2x＋3(x0)，0(x＝0)，－x2－2x－3(x0).②画出函数f(x)＝x2－2x＋3(x0)，0(x＝0)，－x2－2x－3(x0)的图像，如图：-4-由图像可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为[－1，0)，(0，1].求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f1x，使用解方程组法.(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.1.已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为Ｗ.解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得c＝1，a＋b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，解得a＝1，b＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋1.答案：f(x)＝x2＋12.若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为Ｗ.解析：令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)①.以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)②.由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋25，故f(x)＝2x＋25.答案：f(x)＝2x＋25-5-函数的单调性和奇偶性已知f(x)＝xx－a(x≠a).(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围.【解】(1)证明：∀x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2).因为(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增.(2)1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).因为a0，x2－x10，所以要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.1.(2019·张家界检测)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是()A.a≤2B.a≥－2C.－2≤a≤2D.a≤－2或a≥2解析：选D.因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选-6-D.2.已知函数f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)，ax(x1)是R上的增函数，求a的取值范围.解：因为f(x)在R上是单调递增的函数，所以f(x)需满足在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的函数值－12－a－5≤a1，即a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5的对称轴为直线x＝－a2，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－a2≥1，即a≤－2；f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，所以a0.综上所述，a的取值范围是[－3，－2].函数图像及应用对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性；(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值.【解】(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数.图像关于y轴对称.(2)f(x)＝x2－2|x|＝x2－2x＝(x－1)2－1，x≥0，x2＋2x＝(x＋1)2－1，x0.画出图像如图所示，根据图像知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0，1].作函数图像的方法(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线.(2)变换法——熟知函数的图像的平移、对称、翻转.①平移：y＝f(x)――→左加右减y＝f(x±h)；-7-y＝f(x)――→上加下减y＝f(x)±k.(其中h0，k0)②对称：y＝f(x)――→关于y轴对称y＝f(－x)；y＝f(x)――→关于x轴对称y＝－f(x)；y＝f(x)――→关于原点对称y＝－f(－x).1.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是()解析：选D.因为abc且a＋b＋c＝0，所以a0，c0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c0，可知函数图像与y轴的交点在x轴下方.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x.求x∈[－3，5]时，f(x)＝12的所有解的和.解：当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以f(－x)＝－x.又因为f(x)为奇函数，所以x∈[－1，0]时，f(x)＝－f(－x)＝x，即x∈[－1，1]时，f(x)＝x.又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图像关于直线x＝1对称.由此可得f(x)在[－3，5]上的图像如图：在同一坐标系内画出y＝12的图像，由图可知在[－3，5]上共有四个交点，所以f(x)＝12在[－3，5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，所以x1＋x42＝1，x2＋x32＝1，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4.三个“二次”间的转化若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.-8-(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.【解】(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.所以2a＝2，a＋b＝0.所以a＝1，b＝－1.因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可.因为g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，所以gmin＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0，得m＜－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体.因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题.借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a＞0)有两个实根x1，x2.(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；(2)求证：x1＜－1且x2＜－1.解：(1)由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1a，x1x2＝1a，(1＋x1)(1＋x2)＝1＋(x1＋x2)＋x1x2＝1－1a＋1a＝1.(2)证明：令f(x)＝ax2＋x＋1，由Δ＝1－4a≥0，得0＜2a≤12，所以抛物线f(x)＝ax2＋x＋1的对称轴x＝－12a≤－2＜－1.-9-又f(－1)＝a＞0，所以f(x)的图像与x轴的交点都在点(－1，0)的左侧，故x1＜－1且x2＜－1.函数的应用某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工.设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)