2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教师用书

-1-5．4.1正弦函数、余弦函数的图象考点学习目标核心素养正弦函数、余弦函数的图象了解利用正弦线作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象数学抽象直观想象正、余弦函数图象的简单应用会用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题直观想象问题导学预习教材P196－P200，并思考以下问题：1．如何把y＝sinx，x∈[0，2π]的图象变换为y＝sinx，x∈R的图象？2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR值域[－1，1][－1，1]图象画法五点法五点法关键五点(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)■名师点拨“五点法”作图中的“五点”是指正弦、余弦函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．-2-判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx的图象向右平移π2个单位得到函数y＝cosx的图象．()(2)函数y＝cosx的图象关于x轴对称．()(3)函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象与函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象的形状完全一致．()答案：(1)×(2)×(3)×用“五点法”画y＝sinx，x∈[0，2π]的图象时，下列点不是关键点的是()A.π6，12B.π2，1C．(π，0)D．(2π，0)解析：选A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)，故选A.函数y＝cosx，x∈R图象的一条对称轴是()A．x轴B．y轴C．直线x＝π2D．直线x＝3π2答案：B请补充完整下面用“五点法”作出函数y＝－sinx(0≤x≤2π)的图象时的列表.x0π2①3π22π－sinx②－10③0①____________；②____________；③____________．答案：π01用“五点法”作三角函数的图象用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝12＋sinx，x∈[0，2π]；(2)y＝1－cosx，x∈[0，2π]．【解】(1)按五个关键点列表：-3-x0π2π3π22πsinx010－1012＋sinx123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)(2)列表：x0π2π3π22πcosx10－1011－cosx01210描点连线，其图象如图所示．1．(变条件)若本例(1)中“x∈[0，2π]”改为“x∈－5π6，7π6”，如何画函数图象．解：列表：x－5π6－π20π2π7π6sinx－12－1010－1212＋sinx0－121232120描点，并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示．2．(变条件)若本例(2)中“函数y＝1－cosx”换为“y＝1－sinx”，其图象又如何呢？-4-解：列表：x0π2π3π22πsinx010－101－sinx10121描点连线，其图象如图所示．作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤作出函数y＝2sinx(0≤x≤2π)的简图．解：列表：x0π2π3π22πy＝sinx010－10y＝2sinx020－20描点并用光滑的曲线连接，可得y＝2sinx的图象如图所示．正、余弦函数曲线的简单应用根据正弦曲线求满足sinx≥－32在[0，2π]上的x的取值范围．【解】在同一坐标系内作出函数y＝sinx与y＝－32的图象，如图所示．观察在一个-5-闭区间[0，2π]内的情形，满足sinx≥－32的x∈0，43π∪53π，2π，所以满足sinx≥－32在[0，2π]上的x的取值范围是x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π或0，43π∪53π，2π.利用三角函数图象解sinxa(或cosxa)的三个步骤(1)作出y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．(3)确定sinxa(或cosxa)的解集．[注意]解三角不等式sinxa，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．1．满足cosx0，x∈[0，2π]的x的取值范围是________．解析：画出函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象如图所示．由图象，可知在[0，2π]上，满足cosx0的x的取值范围为0，π2∪3π2，2π.答案：0，π2∪3π2，2π2．求关于x的不等式12sinx≤32，x∈[0，2π]的解集．解：作出y＝sinx在[0，2π]上的图象．如图所示，-6-作直线y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0，2π]图象的交点横坐标为π6和5π6；作直线y＝32，该直线与y＝sinx，x∈[0，2π]图象的交点横坐标为π3和2π3，则不等式的解集为π6，π3∪2π3，5π6.1．函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是()解析：选B.y＝sin(－x)＝－sinx与y＝sinx关于x轴对称．2．要得到y＝cosx，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cosx，x∈[0，2π]的图象向________平移________个单位长度．解析：向左平移2π个单位长度即可．答案：左2π3．利用“五点法”作出函数y＝sinx－π2x∈π2，5π2的图象．解：列表如下：xπ2π3π22π5π2x－π20π2π3π22πsinx－π2010－10描点连线，如图所示．-7-[A基础达标]1．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B.令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2.如图是下列哪个函数的图象()A．y＝1＋sinx，x∈[0，2π]B．y＝1＋2sinx，x∈[0，2π]C．y＝1－sinx，x∈[0，2π]D．y＝1－2sinx，x∈[0，2π]解析：选C.当x＝π2时，y＝0，排除A、B、D.3．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝cosx与函数y＝－cosx的简图(图略)，易知它们关于x轴对称．4．在[0，2π]上，函数y＝2sinx－2的定义域是()A.0，π4B.π4，3π4C.π4，π2D.3π4，π解析：选B.依题意得：2sinx－2≥0，即sinx≥22.作出y＝sinx在[0，2π]上的图象及直线y＝22，如图所示．由图象可知，满足sinx≥22的x的取值范围是π4，3π4，故选B.-8-5．函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B.由函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点．6．已知函数f(x)＝3＋2cosx的图象经过点π3，b，则b＝________．解析：b＝fπ3＝3＋2cosπ3＝4.答案：47．若方程sinx＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sinx∈[－1，1]，要使得方程sinx＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－12≤m≤0.答案：－12，08．已知函数f(x)＝sinx，x≥0，x＋2，x＜0，则不等式f(x)＞12的解集是________．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝12的图象(图略)，由图易得：－32＜x＜0或π6＋2kπ＜x＜56π＋2kπ，k∈N.答案：x|－32＜x＜0或π6＋2kπ＜x＜56π＋2kπ，k∈N9．分别作出下列函数的图象．(1)y＝2cosx，x∈[0，2π]．(2)y＝sinx＋π3，x∈－π3，53π.解：(1)①列表：-9-x0π2π3π22πcosx10－1012cosx20－202②描点连线如图．(2)①列表：x－π3π623π76π53πx＋π30π2π32π2πsinx＋π3010－10②描点连线如图．10．作出函数y＝－sinx，x∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：(1)sinx0；(2)sinx0.解：利用五点法作图．根据图象，可知图象在x轴上方时，－sinx0，在x轴下方时，－sinx0，所以(1)当x∈(0，π)时，－sinx0，sinx0；(2)当x∈(－π，0)时，－sinx0，sinx0.[B能力提升]11．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为()-10-解析：选D.由题意得y＝2cosx，0≤x≤π2或32π≤x≤2π，0，π2x32π.故选D.12．函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π13．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sinx|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.解：(1)y＝|sinx|＝sinx，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，－sinx，2kπ＋πx≤2kπ＋2π，k∈Z.其图象如图所示．(2)y＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x0，其图象如图所示．-11-14．已知函数f(x)＝cosx（－π≤x0）sinx（0≤x≤π）.(1)作出该函数的图象；(2)若f(x)＝12，求x的值．解：(1)作出函数f(x)＝cosx（－π≤x0）sinx（0≤x≤π）的图象，如图①所示．(2)因为f(x)＝12，所以在图①基础上再作直线y＝12，如图②所示，则当－π≤x0时，由图象知x＝－π3，当0≤x≤π时，x＝π6或x＝5π6.综上，可知x的值为－π3或π6或5π6.[C拓展探究]15．在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数．解：建立平面直角坐标系xOy，先画出函数y＝sinx的图象，描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．-12-