2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)(第1课

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-1-第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换考点学习目标核心素养“五点法”作图会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象直观想象三角函数的图象变换会通过变换由y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象逻辑推理、直观想象问题导学预习教材P231-P239,并思考以下问题:1.如何用y=sinx的图象变换为y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象?2.如何用y=sinx的图象变换为y=Asinx(A0且A≠1)的图象?3.如何用y=sinx的图象变换为y=sinωx(ω0且ω≠1)的图象?A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响―→y=sin(x+φ)的图象(2)ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响(3)A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响-2-■名师点拨A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系.(2)|ω|越大,函数图象的周期越小,|ω|越小,周期越大,周期与|ω|为反比例关系.(3)φ0时,函数图象向左平移,φ0时,函数图象向右平移,即“加左减右”.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)将函数y=sinx的图象向左平移π2个单位,得到函数y=cosx的图象.()(2)将函数y=sinx图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,便得到函数y=2sinx的图象.()(3)把函数y=cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y=cos3x的图象.()答案:(1)√(2)√(3)×利用“五点法”作函数y=sin12x,x∈[0,2π]的图象时,所取的五点的横坐标为()A.0,π2,π,3π2,2πB.0,π4,π2,3π4,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,π6,π3,π2,2π3答案:C将函数y=12cosx图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变,得到的函数解析式为()A.y=4cosxB.y=2cosx-3-C.y=cosxD.y=14cosx答案:B要得到函数y=sinx-π6的图象,可以将函数y=sinx的图象()A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移16个单位长度D.向右平移16个单位长度答案:B将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象.答案:y=sin4x“五点法”作图已知函数y=3sinx2+π6+3(x∈R),用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象.【解】(1)列表:x-π32π35π38π311π3x2+π60π2π3π22πy36303(2)描点画图:-4-1.(变条件)将本例函数解析式中的x2改为x,其他条件不变,结果如何?解:(1)列表:x-π6π35π64π311π6x+π60π2π3π22πy36303(2)描点画图:2.(变条件)将本例函数解析式中的π6改为π3,其他条件不变,结果如何?解:(1)列表:x-2π3π34π37π310π3x2+π30π2π3π22πy36303(2)描点画图:(1)“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.(2)“五点法”作定区间上图象的关键是列表,列表的方法是:-5-①计算x取端点值时的ωx+φ的范围;②取出ωx+φ范围内的“五点”,并计算出相应的x值;③利用ωx+φ的值计算y值;④描点(x,y),连线得到函数图象.用“五点法”作出函数y=2sinx-π3+3的图象.解:①列表如下:xπ356π43π116π73πx-π30π2π32π2πy35313②描点.③连线成图.将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y=2sinx-π3+3的图象.如图所示.三角函数的图象变换(1)有下列四种变换方式:①向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变);②横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度;③横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度;④向左平移π8个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变).其中能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin2x+π4的图象的是()A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④-6-(2)(2018·高考天津卷改编)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为__________.【解析】(1)①向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变),则正弦函数y=sinx的图象变为y=sin2x+π4的图象;②横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π8个单位长度,正弦函数y=sinx的图象变为y=sin2x+π8=sin2x+π4的图象;③横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再向左平移π4个单位长度,正弦函数y=sinx的图象变为y=sin2x+π4=sin2x+π2的图象;④向左平移π8个单位长度,再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变),正弦函数y=sinx的图象变为y=sin2x+π8的图象,因此①和②符合题意,故选A.(2)函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y=sin2x-π10+π5=sin2x.【答案】(1)A(2)y=sin2x(1)图象平移变换的方法①确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键.②当x的系数是1时,若φ>0,则左移φ个单位;若φ<0,则右移|φ|个单位.③当x的系数是ω(ω>0)时,若φ>0,则左移φω个单位;若φ<0,则右移|φ|ω个单位.(2)三角函数图象伸缩变换的方法-7-1.将函数y=sinx的图象向左平移π4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的图象的解析式是()A.y=sinx-π4+2B.y=sinx+π4-2C.y=sinx-π4-2D.y=sinx+π4+2解析:选D.向左平移π4个单位长度得y=sinx+π4,再向上平移2个单位长度得y=sinx+π4+2,故选D.2.为了得到函数y=sin3x-π6的图象,需将函数y=sinx-π6的图象()A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变C.横坐标变为原来的13,纵坐标不变-8-D.纵坐标变为原来的13,横坐标不变解析:选C.只需将函数y=sinx-π6的图象上所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标不变,便得到函数y=sin3x-π6的图象.3.要得到函数y=3sin2x的图象,可将函数y=3cos2x-π4的图象()A.沿x轴向左平移π8个单位长度B.沿x轴向右平移π8个单位长度C.沿x轴向左平移π4个单位长度D.沿x轴向右平移π4个单位长度解析:选B.由于函数y=3sin2x=3cos2x-π2=3cos2x-π8-π4,所以将函数y=3cos2x-π4的图象沿x轴向右平移π8个单位长度,即可得到函数y=3sin2x的图象.1.要得到y=tanx的图象,只需把y=tanx+π6的图象()A.向左平移π6个单位B.向左平移π12个单位C.向右平移π12个单位D.向右平移π6个单位答案:D2.将函数y=sinx-π3图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的5倍,可得到函数____________的图象.解析:y=sinx-π3的图象――――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍.-9-

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