（浙江专用）2019-2020学年高中数学 提升综合素养（一）解三角形 新人教A版必修5

-1-提升综合素养（一）解三角形1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12B.212C．28D．63解析：选D由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sinA＝32，则S△ABC＝12bcsinA＝12×3×8×32＝63.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19B.13C．1D.72解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cosθ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC＝12AB·BCsin∠ABC＝12×2×5×sinθ＝4.∴sinθ＝45.又θ∈(0，π)，∴cosθ＝±1－sin2θ＝±35.4．某人从出发点A向正东走xm后到B，向左转150°再向前走3m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3mB.2mC．23mD.3m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BCsinB，∴334＝12×x×3×sin30°，∴x＝3.-2-由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC＝12AB·ACsinA＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，即BC＝3.6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形()A．一定是锐角三角形B．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C．一定是钝角三角形D．一定是直角三角形解析：选C由正弦定理asinA＝bsinB得80sinA＝100sinB，所以sinB＝58.因为ab，所以B有两种可能：锐角或钝角．若B为锐角时，cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝12×58－32×3980，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形；若B为钝角时，则△ABC是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sinA＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccosA.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝38．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________.解析：因为C＝2B，所以sinC＝sin2B＝2sinB·cosB，所以cosB＝sinC2sinB＝c2b＝12×85＝45，-3-所以cosC＝2cos2B－1＝2×452－1＝725.答案：7259．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝23，C＝45°，1＋tanAtanB＝2cb，则A＝________，c＝________.解析：由1＋tanAtanB＝2cb，得1＋sinAcosBcosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinBcosAsinB＝sinA＋BcosAsinB＝sinCcosAsinB＝cbcosA＝2cb，所以cosA＝12，故A＝60°.由正弦定理得23sin60°＝csin45°，所以c＝22.答案：60°2210．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sinB＝5cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0Aπ，cosA＝23，所以sinA＝1－cos2A＝53，又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝53cosC＋23sinC，所以253cosC＝23sinC，tanC＝5.(2)由tanC＝5得sinC＝56，cosC＝16，于是sinB＝5cosC＝56.由a＝2及正弦定理asinA＝csinC得c＝3，所以△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝12×2×3×56＝52.11．(2019·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.-4-(1)若a＝3c，b＝2，cosB＝23，求c的值；(2)若sinAa＝cosB2b，求sinB＋π2的值．解：(1)因为a＝3c，b＝2，cosB＝23，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac，即23＝3c2＋c2－222×3c×c，解得c2＝13，所以c＝33.(2)因为sinAa＝cosB2b，由正弦定理asinA＝bsinB，得cosB2b＝sinBb，所以cosB＝2sinB.从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝45.因为sinB0，所以cosB＝2sinB0，所以cosB＝255.所以sinB＋π2＝cosB＝255.12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，-5-即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题设得12bcsinA＝a23sinA，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.