2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（十八）两条直线的交点 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（十八）两条直线的交点一、基本能力达标1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是()A．2ax－ay＋6＝0(a≠0)B．y＝2xC．2x－y＋5＝0D．2x＋y－3＝0解析：选D直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确．2．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0D．3x＋19y＝0解析：选D过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x－3y＋4－45(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.3．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为()A．6B．－24C．±6D．以上都不对解析：选C分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－12m和－m3，由题意得－12m＝－m3，解得m＝±6.4．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a与b的值分别为()A．－3，－9B．3，－9C．－9,3D．9，－3解析：选C在直线ax＋3y－9＝0上取一点(0,3)，关于x＋y＝0的对称点(－3,0)在直线x－3y＋b＝0上，所以b＝3，同理在直线x－3y＋b＝0上取一点(0,1)，它关于x＋y＝0的对称点(－1,0)在直线ax＋3y－9＝0上，所以a＝－9.5．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴上截距为8的直线的方程是()A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选A解方程组2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0，得x＝1，y＝6，又直线在y轴上截距为8，即直线过点(0,8)，直线的斜率为k＝－2，故所求的直线方程为y－8＝－2x，即2x＋y－8＝0.-2-6．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．解析：由4x＋3y＝10，2x－y＝10，得x＝4，y＝－2.∴直线ax＋2y＋8＝0过点(4，－2)，∴4a＋(－4)＋8＝0，∴a＝－1.答案：－17．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是________．解析：直线MN的方程是y＋1＝2x，由{y＋1＝2xx－y＋1＝0，得{x＝2y＝3.所以N点的坐标是(2,3)．答案：(2,3)8．已知l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0，若l1，l2，l3只有两个交点，则m＝________.解析：∵l1与l2相交，故只需l1∥l3，或l2∥l3即可，得m＝－1，或m＝－12.答案：－1或－129．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．解：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1，解得λ＝－1，或λ＝－57.∴所求的直线方程为x－y－4＝0，或x＋y－24＝0.10．若点P(m,0)到点A(－3,2)及B(2,8)的距离之和最小，求实数m的值．解：点A(－3,2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2)．因为点P(m,0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．因为kA′B＝8＋22＋3＝2，所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.令y＝0，得x＝－2，即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2,0)，所以所求实数m的值为－2.二、综合能力提升-3-1．已知直线l1的方程为x＋Ay＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在x轴上，则C的值为()A．2B．－2C．±2D．与A有关解析：选A在2x－3y＋4＝0中，令y＝0，得x＝－2，即直线2x－3y＋4＝0与x轴的交点为(－2,0)．∵点(－2,0)在直线x＋Ay＋C＝0上，∴－2＋A×0＋C＝0，∴C＝2.2．当0＜k＜12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由方程组kx－y＝k－1，ky－x＝2k，得两直线的交点坐标为kk－1，2k－1k－1.因为0＜k＜12，所以kk－1＜0，2k－1k－1＞0，所以交点在第二象限．3．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线2xa＋y2b＝1恒过一定点，则定点坐标为()A.－12，3B．(1,3)C．(－3，－2)D.－13，2解析：选A∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴12b＝13＋13a.∵2xa＋y2b＝1，∴2xa＋13＋13a·y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.令y－3＝0，且6x＋y＝0，得x＝－12，y＝3，∴定点坐标为－12，3.4．若直线x＋y＋3m＋2＝0与x－y－5m＋6＝0的交点在第三象限，则m的取值范围是()A.12，4B.－4，－12C．(4，＋∞)D.－∞，12-4-解析：选A由x＋y＋3m＋2＝0，x－y－5m＋6＝0，得x＝m－4，y＝－4m＋2，由m－4＜0，－4m＋2＜0，得12＜m＜4.5．已知ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，交点为(1，c)，则a＋b＋c＝________.解析：由两直线垂直得－a4×25＝－1，∴a＝10，将交点坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.答案：－46．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－14x＋1的交点在x轴上，则k的值为________．解析：直线y＝－14x＋1交x轴于点(4,0)．∵两条直线的交点在x轴上，∴直线y＝kx＋3k－2过点(4,0)．∴0＝4k＋3k－2.∴k＝27.答案：277．已知△ABC的顶点A的坐标为(5,6)，两边AB，AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程．解：∵AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0，∴可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0，把点A(5,6)代入得25－24＋m＝0，∴m＝－1，即直线AB方程为5x－4y－1＝0.由{5x－4y－1＝0x－6y＋5＝0，得{x＝1y＝1，即B(1,1)．同理可得C(6,0)，∴kBC＝1－01－6＝－15.∴直线BC的方程为y＝－15(x－6)．即x＋5y－6＝0.探究应用题8．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.-5-(1)求直线CM的方程；(2)求点P的坐标．解：(1)设点C的坐标为(x，y)，因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，则1－17－1＝y－6x－46－14－1＝y－1x－7，解得x＝10，y＝6，即C(10,6)．又点M是边AB的中点，所以M(4,1)，所以直线CM的方程为y－16－1＝x－410－4，即5x－6y－14＝0.(2)因为B(7,1)，D(4,6)，所以直线BD的方程为y－16－1＝x－74－7，即5x＋3y－38＝0.由5x－6y－14＝0，5x＋3y－38＝0，解得x＝6，y＝83，即点P的坐标为6，83.