2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（十）垂直关系的性质 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（十）垂直关系的性质一、基本能力达标1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：选B由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能解析：选D因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D.3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则()A．存在aα，a⊥γB．存在aα，a∥γC．任意bβ，b⊥γD．任意bβ，b∥γ解析：选B因为三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与β相交但不垂直，则可知存在aα，a∥γ，选B.4．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，lα，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β解析：选D选项A缺少了条件：lα；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的条件．5.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：选D因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，-2-必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．答案：67.如图，直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α­l­β为直二面角，ACα，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BCβ，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝2.答案：28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⃘α，n⃘β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④-3-9.如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：CFDC＝CEBC.证明：∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴CFDC＝CEBC.10．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG平面BDE，AF⃘平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，CE⊥AC，-4-且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BD.又AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.二、综合能力提升1．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为()①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.A．1B．2C．3D．0解析：选B对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或mα或m⊥α或m与α斜交，即③错误．2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α⊥β，m⊥β，m⃘α，则m∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B①中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；②中，α⊥β，m⊥β，m⃘α时，只可能有m∥α，正确；③中，m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为1，故选B.3．如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径-5-的圆，除去A和B两点，故选D.4．在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A．23B．27C．43D．47解析：选B如图，连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cosα＝525＋4＝529，cosβ＝2529，所以cosα∶cosβ＝5∶2.答案：5∶26．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.在折起前，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．答案：37.(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．-6-解：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，所以DE⊥CG.因为四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，所以EM⊥CG，又DE∩EM＝E，所以CG⊥平面DEM.所以DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.探究应用题8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1­ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1平面BB1C1C，-7-∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE.∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∴四边形AMED是平行四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵BD＝CD，∴DE＝12CC1，∴AM＝12CC1＝12AA1.∴AM＝MA1.