2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（十三）球 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（十三）球一、基本能力达标1．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为()A.12B．1C．2D．3解析：选D设球的半径为r，则球的体积为43πr3，球的表面积为4πr2，故43πr3＝4πr2，解得r＝3.2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()A．2B.2C.32D.1234解析：选C设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝43πR3＝2×43π×13，得R＝32.3．若一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()A.100π3cm3B.208π3cm3C.500π3cm3D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．4．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为()A.43πB.83πC.163πD.323π解析：选D因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为4π3×23＝323π，故选D.-2-5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π解析：选D由主视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3的圆柱．由面积公式可得该几何体的表面积S＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．解析：设此球的半径为R，则4πR2＝43πR3，R＝3.答案：37．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋12×4×π×12＝3π.答案：3π8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．解析：设大、小两球半径分别为R，r，则R－r＝1，4πR2－4πr2＝28π，所以R＝4，r＝3.所以体积和为43πR3＋43πr3＝364π3.答案：364π3-3-9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：在底面正六边形ABCDEF中，如图，连接BE，AD交于点O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝6，在Rt△BEE1中，BE1＝BE2＋E1E2＝23，所以2R＝23，则R＝3，所以球的体积V球＝43πR3＝43π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.二、综合能力提升1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．4πB．8π-4-C．12πD．20π解析：选D由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的表面积为4π×12＋2π×22＋4π×2＝20π.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4解析：选A如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝2.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(2)2＋(4－R)2，解得R＝94，∴该球的表面积为4πR2＝4π×942＝81π4，故选A.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3B.32π3C．8πD.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()-5-A.2π2＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12解析：选C由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V＝12×4π3×223＋13×12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.5．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC的体积的最大值为92，则球O的表面积为________．解析：如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥O­ABC的体积最大．设球O的半径为R，∴VO­ABC＝VC­AOB＝13×12×R2×R＝R36＝92，解得R＝3，则球O的表面积S＝4πR2＝36π.答案：36π6．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P­ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．解析：显然正六棱锥P­ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P­ABCDEF的高为2，则斜高为22＋32＝7，所以该正六棱锥的侧面积为6×12×2×7＝67.答案：67-6-7．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)解：如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×32R×3R＝32πR2，S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2.故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR2.探究应用题8．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解：如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R；OB＝O1O·cot30°＝3R，SO＝OB·tan60°＝3R·3＝3R，∴V球＝43πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝13π·(3R)2·3R＝3πR3，∴V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9.-7-