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-1-6．1.2向量的加法考点学习目标核心素养向量加法的概念理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律数学抽象向量加法的运算法则掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算数学运算数与向量的类比数的加法与向量的加法的联系与区别逻辑推理问题导学预习教材P137－P141的内容，思考以下问题：1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？2．向量的加法如何定义？3．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？1．向量加法的三角形法则一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，作出向量AC→，则向量AC→称为向量a与b的和(也称AC→为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此AB→＋BC→＝AC→．这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．对任意向量a，有a＋0＝0＋a＝a．向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|．2．向量加法的平行四边形法则一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作AB→＝a，AC→＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量AD→，因为BD→＝AC→，因此AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋AC→．-2-这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a．3．多个向量相加结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．例如(a＋b)＋(c＋d)＝a＋[(b＋c)＋d]＝[(d＋c)＋a]＋b.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.()(2)AB→＋BA→＝0.()(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．()答案：(1)√(2)√(3)×CB→＋AD→＋BA→等于()A.DB→B.CA→C.CD→D.DC→解析：选C.CB→＋AD→＋BA→＝CB→＋BA→＋AD→＝CD→.边长为1的正方形ABCD中，|AB→＋BC→|＝()A．2B．2C．1D．22答案：B如图，在平行四边形ABCD中，DA→＋DC→＝________．解析：由平行四边形法则可知DA→＋DC→＝DB→.答案：DB→-3-向量加法运算法则的应用(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：①AB→＋DF→＝________；②AD→＋FC→＝________；③AD→＋BC→＋FC→＝________．(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b.②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.【解】(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①AB→＋DF→＝AB→＋BC→＝AC→.②AD→＋FC→＝AD→＋DB→＝AB→.③AD→＋BC→＋FC→＝AD→＋DF→＋FC→＝AC→.故填①AC→，②AB→，③AC→.(2)①首先作向量OA→＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，再作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b，然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，-4-连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求．1．[变问法]在例1(1)条件下，求CB→＋CF→.解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以CB→＋CF→＝CD→.2．[变问法]在例1(1)图形中求作向量DA→＋DF→＋CF→.解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，则DA→＋DF→＝DG→.作GH→＝CF→，连接DH→，则DH→＝DA→＋DF→＋CF→，如图所示．(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则(1)AB→＋CD→＝________；(2)AB→＋AF→＋BC→＝________；(3)OC→＋OD→＋EF→＝________．解析：(1)AB→＋CD→＝AB→＋AF→＝AO→；(2)AB→＋AF→＋BC→＝AO→＋BC→＝AO→＋OD→＝AD→；-5-(3)OC→＋OD→＋EF→＝OC→＋OD→＋OA→＝OC→.答案：(1)AO→(2)AD→(3)OC→向量加法运算律的应用(1)设a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有________．(将正确结论的序号填在横线上)①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：①DG→＋EA→＋CB→；②EG→＋CG→＋DA→＋EB→.【解】(1)由条件得，(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)＝0＝a，故①③正确．(2)①DG→＋EA→＋CB→＝GC→＋BE→＋CB→＝GC→＋CB→＋BE→＝GB→＋BE→＝GE→；②EG→＋CG→＋DA→＋EB→＝EG→＋GD→＋DA→＋AE→＝ED→＋DA→＋AE→＝EA→＋AE→＝0.向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．已知正方形ABCD的边长等于1，则|AB→＋AD→＋BC→＋DC→|＝________．解析：|AB→＋AD→＋BC→＋DC→|＝|(AB→＋BC→)＋(AD→＋DC→)|＝|AC→＋AC→|＝2|AC→|＝22.答案：22向量加法的实际应用-6-如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．【解】如图所示，设CE→，CF→分别表示A，B所受的力，10N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.所以|CE→|＝|CG→|·cos30°＝10×32＝53，|CF→|＝|CG→|cos60°＝10×12＝5.所以A处所受的力为53N，B处所受的力为5N.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．-7-解：设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.所以飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.1．化简AE→＋EB→＋BC→等于()A.AB→B.CE→C.AC→D.BE→解析：选C.AE→＋EB→＋BC→＝AC→.2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为BC→的是()A.BA→＋AD→＋DC→B.BD→＋DA→＋AC→C.AB→＋BD→＋DC→D.DC→＋BA→＋AD→解析：选C.在A中BA→＋AD→＋DC→＝BD→＋DC→＝BC→；在B中BD→＋DA→＋AC→＝BA→＋AC→＝BC→；在C中AB→＋BD→＋DC→＝AD→＋DC→＝AC→；在D中DC→＋BA→＋AD→＝DC→＋BD→＝BD→＋DC→＝BC→.3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB→|＝1，则|BC→＋CD→|＝________．解析：在菱形ABCD中，连接BD(图略)，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，又因为|AB→|＝1，所以|BD→|＝1，-8-|BC→＋CD→|＝|BD→|＝1.答案：14．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，作OA→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OA→＋AB→＝OB→.所以|a＋b|＝|OB→|＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．答案：82km东北方向[A基础达标]1．下列等式不正确的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②AB→＋BA→＝0；③AC→＝DC→＋AB→＋BD→.A．②③B．②C．①D．③解析：选B.②错误，AB→＋BA→＝0，①③正确．2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同D．与向量b方向相反解析：选A.因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是()-9-A.FD→＋DA→＋DE→＝0B.AD→＋BE→＋CF→＝0C.FD→＋DE→＋AD→＝AB→D.AD→＋EC→＋FD→＝BD→解析：选D.A、B、C正确；D错误．由题意知CFDE是平行四边形，所以EC→＝DF→，AD→＋EC→＋FD→＝AD→＋DF→＋FD→＝AD→.4．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝()A.OH→B.OG→C.FO→D.EO→解析：选C.设a＝OP→＋OQ→，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝OP→＋OQ→，则a与FO→长度相等，方向相同，所以a＝FO→.5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可解析：选A.根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．6．向量(AB→＋PB→)＋(BO→＋BM→)＋OP→化简后等于________．解析：(AB→＋PB→)＋(BO→＋BM→)＋OP→＝(AB→＋BO→＋OP→)＋(PB→＋BM→)＝AP→＋PM→＝AM→.答案：AM→7．如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．-10-(1)AB→＋AD→＝________；(2)AC→＋CD→＋DO→＝________；(3)AB→＋AD→＋CD→＝________；(4)AC→＋BA→＋DA→＝________．解析：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→＋AD→＝AC→.(2)AC→＋CD→＋DO→＝AO→.(3)AB→＋AD→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.(4)AC→＋BA→＋DA→＝(BA→＋AC→)＋DA→＝BC→＋DA→＝0.答案：(1)AC→(2)AO→