2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.2.3 平面向量的坐标及其运算学案

-1-6．2.3平面向量的坐标及其运算考点学习目标核心素养向量的正交分解了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示数学抽象平面向量的坐标理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则数学抽象、数学运算两种坐标的区别掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系数学抽象向量共线能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法逻辑推理、数学建模问题导学预习教材P160－P166的内容，思考以下问题：1．两个向量垂直如何定义？2．一个向量如何正交分解？3．向量的坐标定义是什么？4．如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？5．如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？1．平面向量的坐标平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量OA→对应的坐标也为(x，y)，即OA→＝(x，y)；反之结论也成立．2．平面上向量的运算与坐标的关系-2-设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．如果向量a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．3．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)；AB＝|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．设线段AB中点为M(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22Ｗ.4．向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2．■名师点拨两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若O为坐标原点，OA→＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．()(2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．()(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，则x1x2＝y1y2.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量12AB→的坐标是()A.－4，12B.4，－12C．(－8，1)D．(8，1)解析：选A.AB→＝OB→－OA→＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，-3-12AB→＝－4，12.下列各对向量中，共线的是()A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)D．a＝(1，2)，b＝(2，2)解析：选D.A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝2a，两个向量共线．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．解析：因为a∥b，所以6－3＝y2，解得y＝－4.答案：－4平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b，四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA→的坐标；(3)求点B的坐标．【解】(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×22＝22，AM＝OA·sin45°＝4×22＝22，所以A(22，22)，故a＝(22，22)．因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，-4-所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，所以C－32，332，所以AB→＝OC→＝－32，332，即b＝－32，332.(2)BA→＝－AB→＝32，－332.(3)因为OB→＝OA→＋AB→＝(22，22)＋－32，332＝22－32，22＋332.所以点B的坐标为(22－32，22＋332)．平面内求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°.(1)求向量OA→的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA→的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，所以OA→＝(23，6)．(2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．平面向量的坐标运算(1)已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________．(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求M，N及MN→的坐标．-5-【解】(1)由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，所以2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，所以a＝(3，5)，2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，所以b＝(－2，－2)．(2)法一(待定系数法)：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM→＝3CA→＝3(1，8)＝(3，24)，CN→＝2CB→＝2(6，3)＝(12，6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM→＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；CN→＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，所以M(0，20)，N(9，2)，MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．法二(几何意义法)：设点O为坐标原点，则由CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，可得OM→－OC→＝3(OA→－OC→)，ON→－OC→＝2(OB→－OC→)，从而OM→＝3OA→－2OC→，ON→＝2OB→－OC→，所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M(0，20)，N(9，2)，故MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求AB→＋2BC→，BC→－12AC→的坐标．-6-解：因为AB→＝(－2，10)，BC→＝(－8，4)，AC→＝(－10，14)，所以AB→＋2BC→＝(－2，10)＋2(－8，4)＝(－2，10)＋(－16，8)＝(－18，18)，BC→－12AC→＝(－8，4)－12(－10，14)＝(－8，4)－(－5，7)＝(－3，－3)．判定直线平行、三点共线(1)已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A．－13B．9C．－9D．13(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB→与CD→平行吗？直线AB平行于直线CD吗？【解】(1)选C.设C(6，y)，因为AB→∥AC→，又AB→＝(－8，8)，AC→＝(3，y＋6)，所以－8×(y＋6)－3×8＝0，所以y＝－9.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，CD→＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0，所以AB→∥CD→.又AC→＝(2，6)，AB→＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以AB∥CD.向量共线的判定方法已知A(1，－3)，B8，12，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．-7-证明：由题得，AB→＝8－1，12＋3＝7，72，AC→＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，因为7×4－72×8＝0，所以AB→∥AC→，且AB→，AC→有公共点A，所以A，B，C三点共线．已知平面向量共线求参数已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【解】法一(共线向量定理法)：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－130，所以ka＋b与a－3b反向．法二(坐标法)：由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13.此时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)，所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．已知平面向量共线求参数的思路(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．-8-(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．已知a＝(1，1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是________．解析：因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝x－122－14≥－14，所以λ的最小值为－14.答案：－141．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A．a＝(0，0)，b＝(2，3)B．a＝(1，－3)，b＝(2，－6)C．a＝(4，6)，b＝(6，9)D．a＝(2，3)，b＝(－4，6)解析：选D.只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D.3．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与AB→平行且方向相反的向量a可以是()A．(1，－2)B．(9，3)C．(－2，4)D．(－4，－8)解析：选D.由题意，得AB→＝(1，2)，所以a＝λAB→＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D.4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．-9-解析：设C的坐标为(x，y)，则由已知得OC→＝AB→，所以(x，y)＝(－1，2)．答案：(－1，2)5．已知点