2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数章末复习提升课学案 新人教B

-1-章末复习提升课指数、对数的运算化简：(1)(8)－23×(3102)92÷105；(2)2log32－log3329＋log38－25log53.【解】(1)原式＝(232)－23×(1023)92÷1052＝2－1×103×10－52＝2－1×1012＝102.(2)原式＝log34－log3329＋log38－52log53＝log34×932×8－5log59＝log39－9＝2－9＝－7.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运-2-算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．计算80.25×42＋(32×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．解析：因为log32×log2(log327)＝log32×log23＝lg2lg3×lg3lg2＝1，所以原式＝234×214＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.答案：111比较大小比较下列各组数的大小：(1)27，82；(2)log20.4，log30.4，log40.4；(3)2－13，log213，log1213.【解】(1)因为82＝(23)2＝26，由指数函数y＝2x在R上单调递增知2627，即8227.(2)因为对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.44log0.43log0.42log0.41＝0.又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，所以1log0.421log0.431log0.44，即log20.4log30.4log40.4.(3)02－1320＝1.log213log21＝0.log1213log1212＝1.所以log2132－13log1213.数的大小比较常用方法-3-(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组数的大小：(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)30.4，0.43，log0.43.解：(1)因为log0.049＝lg9lg0.04＝lg32lg0.22＝2lg32lg0.2＝lg3lg0.2＝log0.23.又因为y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.22log0.23，即log0.22log0.049.(2)因为函数y＝ax(a0，且a≠1)，当底数a1时在R上是增函数；当底数0a1时在R上是减函数，而1.21.3，故当a1时，有a1.2a1.3；当0a1时，有a1.2a1.3.(3)30.430＝1，00.430.40＝1，log0.43log0.41＝0，所以log0.430.4330.4.指数函数、对数函数、幂函数的综合应用命题角度一：函数性质及应用已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x＋1)f(x)时的x的取值范围．【解】(1)当a0，b0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x0.①当a0，b0时，32x－a2b，-4-解得xlog32－a2b；②当a0，b0时，32x－a2b，解得xlog32－a2b.指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．函数f(x)＝12x与函数g(x)＝log12|x|在区间(－∞，0)上的单调性为()A．都是增函数B．都是减函数C．f(x)是增函数，g(x)是减函数D．f(x)是减函数，g(x)是增函数解析：选D.f(x)＝12x在x∈(－∞，0)时为减函数，g(x)＝log12|x|为偶函数，x∈(0，＋∞)时g(x)＝log12x为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．命题角度二：函数图像及应用如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}【解析】借助函数的图像求解该不等式．令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图像如图.-5-由x＋y＝2，y＝log2（x＋1），得x＝1，y＝1.所以结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1x≤1}．【答案】C指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()解析：选B.由题意得y＝logax(a0，且a≠1)的图像过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝13x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称．显然不符．故选B.函数的实际应用-6-某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？【解】(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得2＝a＋b，5＝16a＋4b，解得a＝－14，b＝94，所以函数解析式为y＝－14x2＋94x(x∈[0.5，8])．因为y＝－14x2＋94x＝－14x－922＋8116，所以当x＝92时，年人均A饮料的销售量最多是8116L.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t，120t，130t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解：根据题意可列方程组：-7-f（1）＝a＋b＋c＝100，f（2）＝4a＋2b＋c＝120，f（3）＝9a＋3b＋c＝130，解得a＝－5，b＝35，c＝70.所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①与②式得：f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．1.2lg（lga100）2＋lg（lga）等于()A．1B．2C．3D．0解析：选B.2lg（lga100）2＋lg（lga）＝2lg（100·lga）2＋lg（lga）＝2[lg100＋lg（lga）]2＋lg（lga）＝2.2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x0)，g(x)＝logax的图像可能是()解析：选D.显然a0且a≠1.若0a1，则只有D符合．若a1，只有B中y＝xa符合，但B中g(x)不符合．3．已知P＝2－32，Q＝253，R＝123，则P，Q，R的大小关系是()A．P＜Q＜RB．Q＜R＜P-8-C．Q＜P＜RD．R＜Q＜P解析：选B.函数y＝x3在R上是增函数，所以253＜123，由函数y＝2x在R上是增函数知，2－32＞2－3＝123，所以Q＜R＜P.4．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12x图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝12x的图像(图略)，易知有2个交点．5．已知函数f(x)＝xn－4x，且f(4)＝3.(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意实数x1，x2∈[1，3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．解：(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，所以n＝1.所以f(x)＝x－4x.其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又因为f(－x)＝－x＋4x＝－x－4x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－4x1－x2＋4x2＝x1－x2＋4（x1－x2）x1x2＝(x1－x2)1＋4x1x2.因为x1x20，所以x1－x20，1＋4x1x20.所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．-9-所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)依题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．因为f(x)在区间[1，3]上单调递增．所以|f(x1)－f(x2)|的最大值为|f(3)－f(1)|＝3－43－（1－4）＝143.所以t≥1