2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数学案 新人教

-1-4．4幂函数考点学习目标核心素养幂函数的概念了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式数学抽象幂函数的性质结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图像，掌握它们的性质数学运算幂函数性质的应用能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小数学运算问题导学预习教材P33－P36的内容，思考以下问题：1．幂函数是如何定义的？2．幂函数的解析式具有什么特点？3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．■名师点拨幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．幂函数的图像与性质(1)五个常见幂函数的图像(2)五个常见幂函数的性质：函数性质y＝xy＝x12y＝x2y＝x3y＝x－1定义域R[0，＋∞)RR(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)(0，＋∞)R(－∞，-2-0)∪(0，＋∞)奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性R上增[0，＋∞)上增(－∞，0)上减[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上减(0，＋∞)上减公共点(1，1)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x－45是幂函数．()(2)函数y＝2－x是幂函数．()(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．()答案：(1)√(2)×(3)×下列所给函数中，是幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x12D．y＝x2－1解析：选C.幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是()A．y＝x3B．y＝x2C．y＝1xD．y＝x32解析：选A.结合函数图像，易知y＝x3在(－∞，0)上为增函数，故选A.已知幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，则f(4)＝________．解析：设f(x)＝xα，所以α＝12，所以f(4)＝412＝2.答案：2幂函数的概念函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．【解】根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，-3-当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．所以f(x)的解析式为f(x)＝x3.(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(9，3)，则f(100)＝________．解析：由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，所以α＝12，所以f(x)＝x12，所以f(100)＝10012＝10.答案：10幂函数的图像如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±12四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2，2，12D．2，12，－2，－12【解析】考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝12，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－12，曲线c4的n＝－2，故选B.【答案】B幂函数图像的特征-4-(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图像都经过(0，0)和(1，1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则()A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1解析：选B.在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图像有交点，如图所示．根据点低指数大，所以0＜m＜1，n＜－1.比较幂的大小比较下列各组数中两个数的大小：(1)1312与1412；(2)－23－1与－35－1；(3)0.25－14与6.2514；(4)0.20.6与0.30.4.【解】(1)因为y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，且13＞14，所以1312＞1412.(2)因为y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－23＜－35，所以－23－1＞－35－1.(3)0.25－14＝14－14＝212，6.2514＝2.512，-5-因为y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，所以212＜2.512，即0.25－14＜6.2514.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.(1)比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．比较下列各组数的大小：(1)230.5与350.5；(2)－3.143与－π3；(3)1234与3412.解：(1)因为y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，所以230.5＞350.5.(2)因为y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，所以3.143＜π3，所以－3.143＞－π3.(3)因为y＝12x是减函数，所以1234＜1212.y＝x12是[0，＋∞)上的增函数，所以3412＞1212.所以3412＞1234.1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3解析：选B.函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()-6-A．y＝x13B．y＝x－12C．y＝x53D．y＝x23解析：选D.y＝x23＝3x2，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．3．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1，3B．－1，1C．－1，3D．－1，1，3解析：选A.可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1，3.4．若a＝1235，b＝1535，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．解析：因为y＝x35在(0，＋∞)上为增函数．所以1235＞1535，即a＞b＞0.而c＝(－2)3＝－23＜0，所以a＞b＞c.答案：a＞b＞c5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．答案：1[A基础达标]1．在函数①y＝1x，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x－12中，是幂函数的是()A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥解析：选C.幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是-7-α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点12，2，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2解析：选A.因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点12，2，所以k＝1，f12＝12α＝2，即α＝－12，所以k＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x13不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y＝x12－1的图像关于x轴对称的图像大致是()解析：选B.y＝x12的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x12－1的图像可看作由y＝x12的图像向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x12－1的图像关于x轴对称后即为选项B.5．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则下列结论正确的是()-8-A．nm0B．mn0C．nm0D．mn0解析：选A.由图像可知，两函数在第一象限内递减，故m0，n0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.6．若y＝axa2－12是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y＝axa2－12是幂函数，得a＝1，所以y＝x12，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：x112f(x)122则f(x)的单调递增区间是________．解析：因为f12＝22，所以12α＝22，即α＝12，所以f(x)＝x12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．设α∈－1，12，1，3，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0，所以m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，所以m＝－1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，-9-所以m＝－1±2.10．比较下列各组数的大小．(1)3－72和3.2－72；(2)－2323和－π623；(3)4.125和3.8－43.解：(1)函数y＝x－72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－72＞3.2－72.(2)－2323＝2323，－π623＝π623，函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以－2323＞－π623.(3)因为4.125＞125＝1，0＜3.8－43＜1－43＝1，所以4.125＞3.8－43.[B能力提升]11．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，则实数a的值为()A．－1或2B．－2或1C．－1D．1解析：选C.因为f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.12．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图像都经过点(0，0)，(1，1)B．幂函数的图像可以出现在第四象限C．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂