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-1-5．3.3古典概型考点学习目标核心素养基本事件了解基本事件的特点数学抽象古典概型的定义理解古典概型的定义数学抽象古典概型的概率公式会应用古典概型的概率公式解决实际问题数学运算、数学建模问题导学预习教材P102－P107的内容，思考以下问题：1．什么叫基本事件？它有什么特点？2．什么叫古典概率模型？它有什么特点？1．古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．2．古典概型概率计算公式假设样本空间含有n个样本点，事件C包含m个样本点，则P(C)＝mn．■名师点拨古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：(1)基本事件个数有限，但非等可能．(2)基本事件个数无限，但等可能．(3)基本事件个数无限，也不等可能．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．()-2-(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(4)一个古典概型的样本点数为n，则每一个样本点出现的概率都是1n.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(2018·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的样本空间为{(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中事件A包含的样本点有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个，故P(A)＝310＝0.3.故选D.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A.15B.310C.35D.12解析：选B.样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为310，故选B.从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个．解析：(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．答案：2古典概型的判断判断下列试验是不是古典概型：(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．-3-【解】(1)每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．古典概型的判断方法一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．下列试验中是古典概型的是()A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环解析：选B.A项这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型；B项具备“有限性”和“等可能性”；C项，点可以落在圆内任一位置，不具备有限性；D项，因为10环，9环，…，面积各不相同，故命中的概率不同，不具备“等可能性”．古典概型的计算(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【解析】(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，样本空间为：{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，-4-共4个样本点，故所求概率P＝410＝25.(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求概率为310.【答案】(1)C(2)310求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型．(2)求样本空间包含的样本点个数n.(3)算出事件A中包含的样本点个数m.(4)算出事件A的概率，即P(A)＝mn.1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，样本空间为{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的样本空间为{(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共10个样本点．选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，-5-(B，D)，(C，D)，共6个样本点．故所求概率为610＝35.古典概型的实际应用已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅱ)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【解】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)(ⅰ)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)}，共21种抽取结果．(ⅱ)由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种结果．所以，事件M发生的概率P(M)＝521.(1)在建立概率模型时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①有限性；②等可能性．(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．一只口袋里装有形状大小都相同的6个小球，其中2个白球，2个红球，-6-2个黄球，从中随机摸出2个球，试求：(1)2个球都是红球的概率；(2)2个球同色的概率；(3)“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的几倍？解：记两个白球分别为a1，a2；两个红球分别为b1，b2；两个黄球分别为c1，c2，从中随机取2个球的样本空间为{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)}，共15个样本点．(1)2个球都是红球为(b1，b2)共1个样本点，故2个球都是红球的概率P＝115.(2)2个球同色的有：(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3个样本点，故2个球同色的概率P＝315＝15.(3)恰有一个是白球的有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8个样本点，其概率P＝815；2个球都是白球的有(a1，a2)，共1个样本点，其概率P＝115，所以“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的8倍．1．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中所有样本点有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝kn.A．②④B．①③④C．①④D．③④解析：选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2．下列是古典概型的是()①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．-7-A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．3．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()A.12B.13C.14D.15解析：选A.从1，2，3，4中任取两个不同数字构成一个两位数共有12种不同取法，其中大于30的为31，32，34，41，42，43共6种．故P＝612＝12.4．据报道：2019年我国高校毕业生达834万人，创历史新高，就业压力进一步加大．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．解析：记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，样本点有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，所以A的对立事件A的概率为P(A)＝110，所以P(A)＝1－P(A)＝910.答案：910[A基础达标]1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.23B.12C.1