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-1-5．4统计与概率的应用考点学习目标核心素养统计与概率的意义通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用数学抽象统计与概率的应用能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题数学抽象、数学运算判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．()(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．()(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．()答案：(1)×(2)×(3)√已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是()A．若他投100次，一定有50次投中B．若他投一次，一定投中C．他投一次投中的可能性大小为50%D．以上说法均错解析：选C.概率是指一件事情发生的可能性大小．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有()A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定解析：选D.随着n的增加，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．事件A发生的概率是35，则35表示的________．解析：根据概率的含义知35表示的是事件A发生的可能性大小．答案：事件A发生的可能性的大小-2-统计在决策中的应用2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3＋1＋2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．“2”中记入高考总分的单科成绩是由原始分转化得到的等级分，学科高考原始分在全省的排名越靠前，等级分越高．小明同学是2018级的高一学生．已确定了必选地理且不选政治，为确定另选一科，小明收集并整理了化学与生物近10大联考的成绩百分比排名数据x(如x＝19的含义是指在该次考试中，成绩高于小明的考生占参加该次考试的考生数的19%)，绘制茎叶图如下．(1)分别计算化学、生物两个学科10次联考的百分比排名的平均数和中位数；(2)根据已学的统计知识，并结合上面的数据，帮助小明作出选择．并说明理由．【解】(1)化学学科10大联考的成绩百分比排名的平均数为12＋16＋21＋23＋25＋27＋34＋42＋43＋5910＝30.2，化学学科10大联考百分比排名的中位数为26.生物学科10大联考百分比排名的平均数为19＋21＋22＋29＋29＋33＋33＋34＋35＋4110＝29.6，生物学科10大联考百分比排名的中位数为31.(2)从平均数来看，小明的生物学科比化学学科百分比排名靠前，应选生物．或者：从中位数来看，小明的化学学科比生物学科百分比排名靠前，应选化学．统计问题中决策思想主要是利用数字特征和频率分布对一些实际问题进行预测和估计，但不能依赖单一的数字特征进行估计，而是综合各种因素做出合理的解释和判断．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取18位患者服用A药，18位患者服用B药，这36位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用A药的18位患者日平均增加的睡眠时间：0．61.22.71.52.81.82.22.33.22.5-3-2．61.22.71.52.93.03.12.3服用B药的18位患者日平均增加的睡眠时间：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.60．51.80.62.11.12.51.22.7(1)分别计算两组数据的平均数(小数点后保留两位小数)，从计算结果看哪种药疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？并说明理由．A药(叶)茎B药(叶)0.1.2.3.解：(1)服用A药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平均数为X－A＝118(0.6＋1.2＋2.7＋…＋3.0＋3.1＋2.3)≈2.23(h)．服用B药的18位患者日平均增加的睡眠时间的平均数为X－B＝118(3.2＋1.7＋1.9＋…＋2.5＋1.2＋2.7)≈1.67(h)．因为2.231.67，所以服用A种药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：A药(叶)茎B药(叶)60.5689855221.122367899877653322.145672103.2从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有23的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有23的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．概率在决策中的应用某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：-4-男女总计赞成18927反对122537不发表看法201636总计5050100随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？【解】用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝73100＝0.73，因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.概率在决策问题中的应用(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．某食品公司因新产品上市拟举办促销活动以促进销量，方法是买一份糖果摸一次彩．公司准备了一些黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同，另有一个棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)．该公司拟按1%的中奖率设置大奖，其余99%则为小奖，大奖的奖品价值400元，小奖的奖品价值2元．请你按公司的要求设计一个摸彩方案．解：可以提出如下2个方案(答案不唯一)．(方案1)在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球．顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖．(方案2)在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个黄球中大奖，否则中小奖．概率在整体估计中的应用为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到1200只这种动物并做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中做过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内约有多少只该种动物．【解】设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P(A)＝-5-1200x.第二次被逮到的1000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈1001000＝110，故1200x≈110，解得x≈12000.所以保护区内约有12000只该种动物．利用频率与概率的关系求未知量的步骤(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为mn.(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为m1n1.(3)用频率近似等于概率，建立等式mn≈m1n1.(4)求得n≈m·n1m1.若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20000个鸡蛋大约能孵化出多少只小鸡．解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P(A)＝810①.设20000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，则P(A)≈m20000，②由①②得m20000≈810，解得m≈16000.所以20000个鸡蛋大约能孵化出16000只小鸡．1．若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8000件产品中的次品件数为()A．7840B．160C．16D．784解析：选B.8000×98%＝7840(件)，8000－7840＝160(件)．故次品件数为160件．2．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是()A.12B.13C.14D.15-6-解析：选C.所含的基本事件总数为4，分别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以两胎均是女孩的概率为14.3．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为()A.56B.45C.23D.12解析：选C.10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，所以所求的概率为45＋1590＝23.4．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，则碰到地雷的概率为________．解析：由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为99480＝33160.答案：331605．某栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖品，其余没有奖品，参与游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)．(1)第一次翻牌获奖的概率是多少？(2)某观众前两次翻牌均获奖，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？解：(1)第一次翻牌时有5个有奖品，故获奖的概率为P＝520＝14.(2)前两次翻牌均获奖，第三次翻牌时，只有3个有奖品，还有18个商标牌，故获奖的概率为P＝318＝16.[A基础达标]1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是()A．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨B．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨C．可能北京和上海都没有降雨D．北京降雨的可能性比上海大解析：选D.因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．-7-2．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是()A.34B.14C.13D.12解析：选D.4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝24＝12.3．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每名学生被抽到的概率为14，其中解释正确的是()A．4名学生中，必有1名被抽到B．每名学生被抽到的可能性为14C．由于抽到与不被抽到有两种情况，所以不被抽到的概率为12D．以上说法都不正确解析：选B.根据概率的意义可以知道选B.4．某比赛为两运动员制定下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的规则是()A．规则一和规则二B．规则一和规则三C．规则二和规则三D．规则二解析：选B.规则一每人发球的概率都是相等的，公平．规则二所有情况有(红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)6种，同色的有2种，所以甲发球的可能性为13，不公平．规则三所有情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(红1，黑)，(红2，黑)，(红3，黑)，同色球有3种，所以两人发球的可能性都是相等的，公平．5．通过模拟试验，产生了20组随机数：68303013705574307740442278842604-8-334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________.解析：由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有三个数字在1，2，3，4，5，6中，这样的随机数有3013，2604，5725，6576，6754，共5个，所求的概率约为520＝14.答案：146．某汽车站，每天均有3辆开往南京的分为上、