2020版高考数学大二轮复习 6.2 椭圆、双曲线、抛物线学案 理

-1-第2讲椭圆、双曲线、抛物线考点1圆锥曲线的定义及标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．[例1](1)[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1(2)[2019·全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．【解析】(1)由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.(2)本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则-2-x236＋y220＝1，|F1M|2＝x＋42＋y2＝64，x0，y0，得x＝3，y＝15，所以M的坐标为(3，15)．【答案】(1)B(2)(3，15)求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法．(2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2m＋y2n＝1(m0，n0，且m≠n)．双曲线方程可设为x2m－y2n＝1(mn0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1来说，抓住a、b、c间的关系是关键.『对接训练』1．[2019·江西九江模拟]点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a0时，可得y＝112x2；当a0时，可得y＝－136x2.答案：D2．[2019·吉林长春模拟]双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为32，则双曲线C的方程为()A.y24－x25＝1B.y25－x24＝1-3-C.x24－y25＝1D.x25－y24＝1解析：由题意，可得c＝3.又由e＝ca＝32，得a＝2.又b2＝32－22＝5，故双曲线C的方程为x24－y25＝1，故选C.答案：C考点2圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．[例2](1)[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________．【解析】(1)本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p，0)，所以p2＝2p，解得p＝8，故选D.(2)本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．通解因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，如图．-4-所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为F1A→＝AB→，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝ab，tan∠BOF2＝ba.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以ba＝2×ab1－ab2，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.优解因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又F1A→＝AB→，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c,0)可得Bc2，3c2，因为点B在直线y＝bax上，所以32c＝ba·c2，所以ba＝3，所以e＝1＋b2a2＝2.【答案】(1)D(2)2圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.-5-『对接训练』3．[2019·河北衡水中学一模]椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21D.1925或21解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，得5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c2＝k－5，由ca＝45，得k－54＋k＝1625，得k＝21.综上可知，选C.答案：C4．[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.324B.322C．22D．32解析：不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝6.又tan∠POF＝ba＝22，所以等腰三角形POF的高h＝62×22＝32，所以S△PFO＝12×6×32＝324.答案：A考点3直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．[例3][2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；-6-(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.【解析】设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32，由题设可得x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－12t－19.从而－12t－19＝52，得t＝－78.所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4133.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.-7-『对接训练』5．[2019·湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．解析：(1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)由y＝kx－1，x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，所以|MN|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝21＋k24＋6k21＋2k2.又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.-8-课时作业15椭圆、双曲线、抛物线1．[2019·江西南昌一模]已知抛物线方程为x2＝－2y，则其准线方程为()A．y＝－1B．y＝1C．y＝12D．y＝－12解析：由题意得，抛物线的准线方程为y＝12，故选C.答案：C2．[2019·河南南阳期末]若双曲线y2a2－x29＝1(a0)的一条渐近线与直线y＝13x垂直，则此双曲线的实轴长为()A．2B．4C．18D．36解析：双曲线的渐近线方程为y＝±a3x，由题意可得－a3×13＝－1，得a＝9，∴2a＝18.故选C.答案：C3．[2019·安徽合肥二检]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()A.33B.23C.32D.22解析：如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1P⊥AP，结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝2c，所以椭圆的离心率e＝ca＝22，故选D.答案：D-9-4．[2019·湖北六校联考]已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30