2020版高考数学大二轮复习 5.2 点、直线、平面之间的位置关系学案 理

-1-第2讲点、直线、平面之间的位置关系考点1点、线、面的位置关系判断空间点、线、面位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例就可以．[例1](1)[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面(2)[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】(1)本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象．对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.(2)本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面-2-ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝322＋322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.【答案】(1)B(2)B判断空间位置关系的两种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.『对接训练』1．[2019·浙江绍兴一中模拟]对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中为真命题的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：对于A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对于B，直线m，n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，m与n垂直而非平行，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．答案：D2.[2019·陕西西北工大附中调考]如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若AECE＝BFFC＝BGGD，则与平面EFGH平行的直线有()A．0条B．1条-3-C．2条D．3条解析：∵AECE＝BFFC，∴EF⊥AB.又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理，由BFFC＝BGGD，可证CD∥平面EFGH.∴与平面EFGH平行的直线有2条．故选C.答案：C考点2空间中平行、垂直关系1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.[例2][2019·全国卷Ⅱ]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．【解析】本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积，考查了空间想象能力，主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养．-4-(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.1．证明线线平行的4种常用方法(1)利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行平行转换；(3)利用三角形的中位线定理证线线平行；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．2．证明线线垂直的3种常用方法(1)利用等腰三角形底边中线即高线的性质；(2)勾股定理；(3)线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.『对接训练』3．[2019·陕西商洛质检]-5-如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A－PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因为PD∩CD＝D.所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A－PDE的高．因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝12S△PDC＝12×12×4×4＝4.又AD＝2，所以VA－PDE＝13AD·S△PDE＝13×2×4＝83.(2)取AC中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥PA.又因为EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，所以PA∥平面EDM.所以AM＝12AC＝5.即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为5.-6-考点3平面图形的折叠问题1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体的结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．[例3][2019·全国卷Ⅲ]图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．【解析】本题考查了线面、面面垂直问题，通过翻折、平面与平面垂直的证明考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了直观想象的核心素养．(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.-7-因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE.故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.又DM⊂平面DEM，因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.『对接训练』4．[2019·湖南省湘东六校联考]如图，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABD′⊥平面ABC.(1)求证：AD′⊥平面BCD′；(2)当AB＝3，AD＝1时，求点B到平面AD′C的距离．解析：(1)∵BC⊥AB，平面ABD′⊥平面ABC，平面ABD′∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABD′，∵AD′⊂平面ABD′，∴BC⊥AD′，又AD′⊥D′C，BC∩D′C＝C，∴AD′⊥平面BCD′.(2)由(1)知AD′⊥平面BCD′，又BD′⊂平面BCD′，∴AD′⊥BD′，从而BD′＝2，-8-设点B到平面AD′C的距离为h，由V三棱锥B－AD′C＝V三棱锥C－AD′B，得13S△AD′C·h＝13S△AD′B·BC，即13×12×1×3×h＝13×12×1×2×1，得h＝63，即点B到平面AD′C的距离为63.考点4空间线面关系的探究性问题[例4][2018·全国卷Ⅲ]如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．解析：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.-9-又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立．(2)探索线段上是否存在满足题意的点时，注意三点共线条件的应用．『对接训练』5．[2019·河南名校压轴第二次考试]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解析：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝33a时，AM∥平面BDF，理由如下：在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN.-10-由(1)知四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以AB＝2BC＝2DC，则＝易知EF＝AC＝3a，因为EM＝33a，所以MF＝23EF＝233a，